《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

19. 【阅读材料】
“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的思想方法. 如图①,数轴上的点$A表示的数为a$,点$B表示的数为b$,且$(a + 4)^{2} + |b - 8| = 0$,$C是线段AB$的中点.
(1)点$C$表示的数是______；
(2)若动点$P从点A$出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿数轴向右运动,动点$Q从点B$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿数轴向左运动,当点$Q到达点A$时,$P$、$Q$两动点同时停止运动,设运动的时间为$t$秒.
①点$P$、$Q$表示的数分别为______,______(用含$t$的代数式表示)；
②在$P$、$Q$两点运动的过程中,若$PC = 2QC$,求运动时间$t$的值；
【类比迁移】
(3)我们发现角的很多运算方法和线段运算方法一样,如图②,已知$\angle AOB = 120^{\circ}$,$OC平分\angle AOB$,射线$OP从OA$出发,以每秒$1^{\circ}$的速度顺时针旋转,射线$OQ从OB$出发,以每秒$2^{\circ}$的速度逆时针旋转,射线$OP$、$OQ$同时旋转,当射线$OQ到达OA$时,射线$OP$、$OQ$同时停止旋转. 设旋转时间为$t$秒,在旋转过程中,存在某一时刻,使得$\angle POC = 2\angle QOC$,求旋转时间$t$的值.

答案：
(1)2
(2)①$-4 + t$ $8 - 2t$
②$t = 2$或$t = \frac{18}{5}$
(3)由条件可知$∠AOC = ∠BOC = \frac{1}{2}∠AOB = 60°$，
由题意可得$∠AOP = t°$，$∠BOQ = 2t°$，$0 ≤ t ≤ 60$
∴$∠POC = |60° - t°|$，$∠QOC = |60° - 2t°|$.
当$∠POC = 2∠QOC$时，$|60° - t°| = 2|60° - 2t°|$，
当$0 ≤ t ＜ 30$时，有$60 - t = 2(60 - 2t)$，
解得$t = 20$；
当$30 ≤ t ≤ 60$时，有$60 - t = 2(2t - 60)$，解得$t = 36$.