《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

17. 阅读下列材料：关于$x的方程x^{3} + x = 1^{3} + 1的解是x = 1$；
$x^{3} + x = 2^{3} + 2的解是x = 2$；
$x^{3} + x = (-2)^{3} + (-2)的解是x = -2$.
根据以上材料,解答下列问题.
(1)观察上述方程以及解的特征,请你直接写出关于$x的方程x^{3} + x = 4^{3} + 4$的解为______；
(2)比较关于$x的方程x^{3} + x = a^{3} + a$与上面各方程的关系,猜想它的解是______；
(3)请验证第(2)问猜想的结论.

答案： 1. （1）
答案：$x = 4$。
2. （2）
答案：$x = a$。
3. （3）
解（证明）：
把$x = a$代入方程$x^{3}+x=a^{3}+a$的左边得：$x^{3}+x=a^{3}+a$。
方程的右边为$a^{3}+a$。
因为左边$=$右边，所以$x = a$是方程$x^{3}+x=a^{3}+a$的解。

18. 关于$x的方程ax + b = ab(a ＞ b,a \neq 0)的解为x = c$,在数轴上,点$A$,点$B$,点$C分别表示的数为a$、$b$、$c$,若点$C在点B$左侧,则称$C为线段AB$的“左特征点”；若点$C在点B$右侧,则称$C为线段AB$的“右特征点”；若点$C恰好在点B$上,则称$C为线段AB$的“完美特征点”.
(1)当$a = 2$,$b = 1$时,$C为线段AB$的______特征点(填“左”“右”或“完美”)；对于所有的非零数$a$,$C都是线段AB$的“完美特征点”,则$b = $______；
(2)已知$a = 0.5$,若线段$AB$的“右特征点”恰好是线段$AB$的中点,求此时$c$的值；
(3)$B点所代表的数是数组N$：$-10$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$中的数,$C点为线段AB$的“右特征点”,若$a的倒数是c的2$倍,求此时$A$点所表示的数.

答案：
(1)左 0
(2)$c = \frac{1}{6}$
(3)$a = 0.95$或0.5.