《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

18. 请你参与下面的探究过程,回答所提出的问题.
(1)问题引入：
如图①,在△ABC中,O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,若∠A= 70°,则∠BOC= ______度；若∠A= α,则∠BOC= ______(用含α的代数式表示)；
(2)类比探究：
如图②,在△ABC中,∠CBO= $\frac{1}{3}$∠ABC,∠BCO= $\frac{1}{3}$∠ACB,∠A= α.
试探究：∠BOC与∠A的数量关系(用含α的代数式表示),并说明理由.
(3)知识拓展：
如图③,BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO= $\frac{1}{n}$∠DBC,∠BCO= $\frac{1}{n}$∠ECB,∠A= α,求∠BOC的度数(用含α、n的代数式表示).

答案：
(1)$125^{\circ}$ $90^{\circ} + \frac{1}{2}\alpha$
(2)$\angle BOC = 120^{\circ} + \frac{1}{3}\alpha$.
理由如下：
$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{3}(\angle ABC + \angle ACB)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{3}(180^{\circ} - \angle A)$
$= 120^{\circ} + \frac{1}{3}\alpha$.
(3)$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{n}(\angle DBC + \angle ECB)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{n}(180^{\circ} + \angle A)$
$= \frac{n - 1}{n} \cdot 180^{\circ} - \frac{\alpha}{n}$.