《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

17. 作图题.
(1)3月12日是植树节,图①中“树”需进行平移,请将“树根”A移到点F处,作出平移后的“树”;

(2)小明家有一块三角形菜地,要种面积相等的四种蔬菜,请你设计两种方案,把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植这四种蔬菜.

答案： $(1)$ 平移作图
平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
- 步骤一：连接$AF$。
- 步骤二：分别过“树”的其他关键点作与$AF$平行且相等的线段，确定这些关键点平移后的对应点。
步骤三：按照原“树”的形状，顺次连接平移后的对应点，得到平移后的“树”。
$(2)$ 三角形面积相等的分割方案
三角形面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
方案一**：
把三角形的一条边四等分，然后分别连接顶点与这些等分点。
理由：因为这四个小三角形等底（把底边四等分，所以底相等）同高（高是从顶点到底边的距离，都相等），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，所以它们的面积相等。
方案二**：
先取三角形三边的中点，然后连接三边中点。
理由：根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边且等于第三边的一半。可以证明这四个小三角形全等（三边分别相等的三角形全等），全等三角形面积相等。
综上，$(1)$ 按照平移性质作出平移后的“树”（具体图形根据上述步骤绘制）；$(2)$ 方案一：把三角形一边四等分，连接顶点与等分点；方案二：连接三角形三边中点 。

18. 如图,在正方形ABCD中,E是BC上一点,连结AE. 请添加一条线段,使所得图形是一个轴对称图形. (要求:画出示意图,并作出对称轴)

答案： 1. 首先，我们可以考虑添加$DE$：
因为正方形$ABCD$中，$AB = DC$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，$BE$和$CE$的关系不确定，若添加$DE$，根据正方形的对称性，对称轴为正方形$ABCD$的对称轴（如过$AD$中点和$BC$中点的直线$l_1$，或对角线$AC$、$BD$所在直线，这里以过$AD$中点和$BC$中点的直线为例）。
示意图：连接$DE$，过$AD$中点$M$和$BC$中点$N$作直线$l_1$，$\triangle ABE$与$\triangle DCE$关于直线$l_1$对称（因为$AB = DC$，$BM=CN$，$\angle B=\angle C$，根据全等三角形$SAS$判定，$\triangle ABE\cong\triangle DCE$，且直线$l_1$垂直平分$AD$和$BC$，所以图形关于直线$l_1$对称）。
2. 其次，我们可以考虑添加$AE$的垂直平分线与$CD$的交点$F$，连接$AF$：
设$AE$的垂直平分线为$l_2$，因为$AB = AD$，$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$，若$BE = DF$（由垂直平分线性质和正方形性质可推得），根据$SAS$（$AB = AD$，$\angle B=\angle D$，$BE = DF$），$\triangle ABE\cong\triangle ADF$。
对称轴为$AE$的垂直平分线$l_2$。
（答案不唯一，以上是两种常见的添加方法及对称轴的确定）