《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

15. 如图,在△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边AB于点D.
(1)若∠ABC= 40°,则∠AOC= ______,∠ADO= ______；
(2)猜想∠AOC与∠ADO的关系,并说明理由.

答案： 1. （1）
求$\angle AOC$：
因为$AO$，$BO$，$CO$分别平分$\angle BAC$，$\angle ABC$，$\angle ACB$，所以$\angle OAC=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle OCA=\frac{1}{2}\angle ACB$。
根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，已知$\angle ABC = 40^{\circ}$，则$\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC = 140^{\circ}$。
在$\triangle AOC$中，$\angle AOC = 180^{\circ}-(\angle OAC+\angle OCA)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ACB)$。
把$\angle BAC+\angle ACB = 140^{\circ}$代入上式，得$\angle AOC=180^{\circ}-\frac{1}{2}×140^{\circ}=110^{\circ}$。
求$\angle ADO$：
因为$BO$平分$\angle ABC$，$\angle ABC = 40^{\circ}$，所以$\angle ABO=\frac{1}{2}\angle ABC = 20^{\circ}$。
又因为$OD\perp OB$，所以$\angle BOD = 90^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle ADO=\angle ABO+\angle BOD$。
把$\angle ABO = 20^{\circ}$，$\angle BOD = 90^{\circ}$代入，得$\angle ADO=20^{\circ}+90^{\circ}=110^{\circ}$。
故答案为$110^{\circ}$，$110^{\circ}$。
2. （2）
猜想：$\angle AOC=\angle ADO$。
理由：
因为$AO$，$BO$，$CO$分别平分$\angle BAC$，$\angle ABC$，$\angle ACB$，所以$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle OBA=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
在$\triangle AOC$中，$\angle AOC = 180^{\circ}-(\angle OAC+\angle OCA)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$。
因为$\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC$，所以$\angle AOC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC$。
因为$OD\perp OB$，所以$\angle BOD = 90^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle ADO=\angle ABO+\angle BOD$，又因为$\angle ABO=\frac{1}{2}\angle ABC$，所以$\angle ADO=\frac{1}{2}\angle ABC + 90^{\circ}$。
所以$\angle AOC=\angle ADO$。

16. 如图,在△ABC中,∠B= 36°,∠ACB= 110°,AE是∠BAC的平分线.
(1)求∠AEC的度数；
(2)过△ABC的顶点A作BC边上的高AD. 求∠DAE的度数.

答案：
(1)$\angle AEC = 53^{\circ}$
(2)$\angle DAE = 37^{\circ}$