《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

11. 已知三角形的三边长分别为4,a - 3,5,求a的取值范围.

答案： $4 ＜ a ＜ 12$

12. 如图,分别过△ABC的顶点A、B作AD//BE,且AD平分∠BAC. 若∠BAC= 70°,∠EBC= 80°,求∠ABC的度数.

答案： $\angle ABC = 45^{\circ}$

13. 如图,在△ABC中,∠C= 70°,∠B= 40°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,则∠DAE的度数是多少？

答案： $\angle DAE = 15^{\circ}$

14. 如图,在△ABC内部有一点F,D、E分别是AB、AC边上的点,AB//EF,∠A= ∠F.
(1)判

断

AC与DF是否平行,并说明理由；
(2)若EF平分∠CED,∠BDF= 2∠EDF,求∠A的度数.

答案： 1. （1）
解：$AC// DF$。
理由：
因为$AB// EF$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle A=\angle FEC$。
又因为$\angle A = \angle F$，所以$\angle FEC=\angle F$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$AC// DF$。
2. （2）
设$\angle EDF = x$，因为$\angle BDF = 2\angle EDF$，所以$\angle BDF = 2x$。
因为$AC// DF$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle CED+\angle EDF = 180^{\circ}$，则$\angle CED=180 - x$。
因为$EF$平分$\angle CED$，所以$\angle FEC=\frac{1}{2}\angle CED=\frac{1}{2}(180 - x)=90-\frac{1}{2}x$。
又因为$AB// EF$，$AC// DF$，$\angle A=\angle FEC$，且$\angle A+\angle BDF+\angle EDF = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$，这里可看作$\angle A$与$\angle BDF$、$\angle EDF$组成平角）。
把$\angle A = 90-\frac{1}{2}x$，$\angle BDF = 2x$，$\angle EDF = x$代入$\angle A+\angle BDF+\angle EDF = 180^{\circ}$得：
$90-\frac{1}{2}x+2x + x=180$。
合并同类项：$90+(2x + x-\frac{1}{2}x)=180$，即$90+\frac{4x + 2x - x}{2}=180$，$90+\frac{5x}{2}=180$。
移项得：$\frac{5x}{2}=180 - 90$，$\frac{5x}{2}=90$。
解得$x = 36$。
则$\angle A=90-\frac{1}{2}×36$。
先计算$\frac{1}{2}×36 = 18$，再计算$90-18 = 72^{\circ}$。
综上，（1）$AC// DF$；（2）$\angle A = 72^{\circ}$。