《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

18. 【问题初探】
(1)数学活动课上,李老师给出如下问题：如图①,点A在数轴上表示的数是2,点B在数轴上表示的数是-3,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动；同时动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动,设P、Q两点的运动时间为t秒,当PQ= 9时,求t的值.
①小强同学根据行程问题中的追及问题,给出如下思路：点P与点Q在起始位置时,PQ= 5,点P与点Q同时向左运动,点Q在前,点P在后,点Q每秒比点P多运动2个单位长度,从而可列方程求解.
②小颖同学利用点在数轴上表示的数求两点间的距离,给出如下思路：用含t的代数式分别表示出点P与点Q在数轴上表示的数,根据PQ= 9,从而可列方程求解.
请你选择一名同学的解题思路写出求解过程.
【类比分析】
(2)李老师发现之前两名同学都运用了数形结合和方程的数学思想,为了帮助学生更好地感悟这两种数学思想,王老师又提出了下面的问题,请你解答.
如图②,点A在数轴上表示的数是3,点B在数轴上表示的数是-6,动点C从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动,设点C的运动时间为t秒,当AC= 2BC时,求t的值.
【学以致用】
(3)如图③,点A在数轴上表示的数是8,点B在数轴上表示的数是-10,动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度向点A运动. 当点M到达点B后,立即以原速返回,到达点A停止运动,当点N到达点A后,立即以原速返回,到达点B停止运动,设点M的运动时间为t秒,当MN= 7时,求t的值.

答案： $(1)$ 选择小强同学的思路求解
解：
已知点$P$与点$Q$在起始位置时，$PQ = 5$，点$Q$每秒比点$P$多运动$4 - 2=2$个单位长度。
因为点$Q$在前，点$P$在后，当$PQ = 9$时，根据路程差公式$路程差=速度差×时间$，可列方程$2t+5 = 9$。
移项可得$2t=9 - 5$，即$2t = 4$，解得$t = 2$。
$(2)$ 求解$t$的值
解：
点$C$从原点$O$出发，速度是每秒$2$个单位长度，运动时间为$t$秒，则点$C$表示的数是$-2t$。
点$A$表示的数是$3$，点$B$表示的数是$-6$。
根据两点间距离公式$\vert x_1 - x_2\vert$，$AC=\vert3-(-2t)\vert=\vert3 + 2t\vert$，$BC=\vert-6-(-2t)\vert=\vert-6 + 2t\vert$。
因为$AC = 2BC$，所以$\vert3 + 2t\vert=2\vert-6 + 2t\vert$。
分情况讨论：
当$3 + 2t=2(-6 + 2t)$时：
展开得$3 + 2t=-12 + 4t$。
移项得$4t-2t=3 + 12$，即$2t = 15$，解得$t=\frac{15}{2}$。
当$3 + 2t=-2(-6 + 2t)$时：
展开得$3 + 2t = 12-4t$。
移项得$2t + 4t=12 - 3$，即$6t = 9$，解得$t=\frac{3}{2}$。
综上，$t$的值为$\frac{3}{2}$或$\frac{15}{2}$。
$(3)$ 求解$t$的值
解：
点$A$表示的数是$8$，点$B$表示的数是$-10$，则$AB=\vert8-(-10)\vert = 18$。
点$M$的速度是每秒$2$个单位长度，点$N$的速度是每秒$3$个单位长度。
情况一：$M$，$N$未相遇前
$M$表示的数是$8-2t$，$N$表示的数是$-10 + 3t$，$MN=\vert(8-2t)-(-10 + 3t)\vert=\vert18-5t\vert$。
由$MN = 7$，得$\vert18-5t\vert = 7$。
当$18-5t = 7$时，$5t=18 - 7$，$5t = 11$，解得$t=\frac{11}{5}$。
情况二：$M$，$N$相遇后
$M$，$N$相遇时间为$t_0=\frac{18}{2 + 3}=\frac{18}{5}$秒。
$M$表示的数是$8-2t$，$N$表示的数是$-10 + 3t$，$MN=\vert(8-2t)-(-10 + 3t)\vert=\vert18-5t\vert$。
当$18-5t=-7$时，$5t=18 + 7$，$5t = 25$，解得$t = 5$。
情况三：$N$到达$A$点后返回
$N$到达$A$点时间为$\frac{18}{3}=6$秒。
$M$表示的数是$8-2t$，$N$表示的数是$8-3(t - 6)=26-3t$，$MN=\vert(8-2t)-(26-3t)\vert=\vert t - 18\vert$。
当$\vert t - 18\vert = 7$时，$t-18 = 7$或$t-18=-7$，解得$t = 25$（$M$已停止运动，舍去）或$t = 11$。
情况四：$M$到达$B$点后返回
$M$到达$B$点时间为$\frac{18}{2}=9$秒。
$M$表示的数是$-10+2(t - 9)=2t-28$，$N$表示的数是$-10 + 3t$，$MN=\vert(2t-28)-(-10 + 3t)\vert=\vert - 18 - t\vert=\vert t + 18\vert$（不符合$MN = 7$，舍去）。
综上，$t$的值为$\frac{11}{5}$或$5$或$11$。