《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

11. 如图,已知$△ABC$.
(1)尺规作图:画出BC的垂直平分线DE,分别交AB、BC于点D、E(不写作法,标明字母,保留作图痕迹);
(2)连结DC,若$∠A = 100^{\circ},∠B = 30^{\circ}$,求$∠ACD$的度数.

答案：
1. （1）

2. （2）
解：
首先，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$。
已知$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，则$\angle ACB=180^{\circ}-\angle A - \angle B$。
把$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$代入可得：$\angle ACB = 180^{\circ}-100^{\circ}-30^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$DE$是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$DB = DC$。
再根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以$\angle B=\angle DCB$。
已知$\angle B = 30^{\circ}$，则$\angle DCB = 30^{\circ}$。
最后求$\angle ACD$，$\angle ACD=\angle ACB-\angle DCB$。
把$\angle ACB = 50^{\circ}$，$\angle DCB = 30^{\circ}$代入可得：$\angle ACD = 50^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ}$。
综上，$\angle ACD$的度数为$20^{\circ}$。

12. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$△ABC$的顶点、点$A_{1}$都在网格的格点上.
(1)平移$△ABC$,使点A与$A_{1}$重合,画出平移后得到的$△A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2)连结$AA_{1}$、$CC_{1}$,四边形$AA_{1}C_{1}C$的面积是______.

答案： 1. （1）
平移的性质：平移时，对应点的连线平行且相等。
先确定点$A$到$A_1$的平移规律：观察网格可知，点$A$向右平移$3$个单位，再向上平移$3$个单位得到$A_1$。
那么点$B$也向右平移$3$个单位，再向上平移$3$个单位得到$B_1$；点$C$也向右平移$3$个单位，再向上平移$3$个单位得到$C_1$，然后连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$A_1C_1$，得到$\triangle A_1B_1C_1$。
2. （2）
解：
由平移的性质可知$AA_1// CC_1$，$AA_1 = CC_1$，所以四边形$AA_1C_1C$是平行四边形。
根据平行四边形的面积公式$S = 底×高$。
观察网格可得$AA_1$的长度（可根据勾股定理：若直角三角形两直角边为$a$，$b$，斜边为$c$，则$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，这里$a = 3$，$b = 3$，$AA_1=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9 + 9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，也可通过数方格的横向和纵向距离），以$AA_1$为底，过$C$作$AA_1$的垂线（利用网格的直角关系），底$AA_1$对应的高$h$为$3\sqrt{2}$（通过网格的边长关系，利用勾股定理求高，或者利用平行四边形面积的另一种计算方法：数方格法转化）。
另一种方法：利用割补法，把平行四边形$AA_1C_1C$放在一个边长为$3$的正方形中（通过网格观察），$S_{AA_1C_1C}=6×3-2×\frac{1}{2}×3×3$。
先计算$6×3 = 18$，$2×\frac{1}{2}×3×3=9$。
则$S_{AA_1C_1C}=9$。
故四边形$AA_1C_1C$的面积是$9$。