《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

18. 图中是一把学生椅,主要由靠背、座板及铁架组成,经测量,该款学生椅的座板尺寸为$40cm×35cm$,靠背由两块相同的靠背板组成,其尺寸均为$40cm×10cm$. 因学校需要,某工厂配合制作该款式学生椅,清点库存时发现,工厂仓库已有大量的学生椅铁架. 故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板,如图,该型号板材长为240cm,宽为50cm. (裁切时不计损耗)
【任务一】拟定裁切方案
(1)在不造成板材浪费的前提下,若将一张该板材全部用来裁切靠背板,则可裁切靠背板____块.
(2)在不造成板材浪费的前提下,若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板,请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板____块和座板____块.
方案二：裁切靠背板____块和座板____块.
方案三：裁切靠背板____块和座板____块.
【任务二】确定搭配数量
(3)现需要制作700张学生椅,该工厂仓库现有10块靠背板,没有座板,请问还需要购买该型号板材多少张(恰好全部用完)? 为方便加工,需在上述裁切方案中选定两种,并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材.

答案：

(1)30
(2)23 2 16 4 9 6
解析：
(2)一张该板材先靠上裁切靠背 6 块，如图，

余下的，设一张该板材裁切靠背板 m 块，座板 n 块，根据题意，得$10m + 35n = 240$，$\therefore m = 24 - \frac {7}{2}n$.
$\because m$、$n$为正整数，$\therefore \left\{\begin{array}{l} m=17,\\ n=2,\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} m=10,\\ n=4,\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} m=3,\\ n=6.\end{array}\right.$
∴方案 1：裁切靠背板 23 块和座板 2 块；方案 2：裁切靠背板 16 块和座板 4 块；方案 3：裁切靠背板 9 块和座板 6 块.
(3)①设用 x 张板材裁切靠背 16 块和座板 4 块，用 y 张板材裁切靠背 9 块和座板 6 块，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 16x + 9y = 2×700 - 10,\\ 4x + 6y = 700,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x=34,\\ y=94.\end{array}\right.$ $\because 34 + 94 = 128$(张)，
∴需要购买该型号板材 128 张，用其中 34 张板材裁切靠背 16 块和座板 4 块，用 94 张板材裁切靠背 9 块和座板 6 块.
②设用 x 张板材裁切靠背 23 块和座板 2 块. 用 y 张板材裁切靠背 9 块和座板 6 块，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 23x + 9y = 2×700 - 10,\\ 2x + 6y = 700,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x=17,\\ y=111.\end{array}\right.$ $\because 17 + 111 = 128$(张)，
∴需要购买该型号板材 128 张，用其中 17 张板材裁切靠背 23 块和座板 2 块，用 111 张板材裁切靠背 9 块和座板 6 块.
③设用 x 张板材裁切靠背 23 块和座板 2 块，用 y 张板材裁切靠背 16 块和座板 4 块，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 23x + 16y = 2×700 - 10,\\ 2x + 4y = 700,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x=-94,\\ y=222.\end{array}\right.$(不合题意，舍去)，综上，需要购买该型号板材 128 张，用其中 34 张板材裁切靠背 16 块和座板 4 块，用 94 张板材裁切靠背 9 块和座板 6 块或需要购买该型号板材 128 张，用其中 17 张板材裁切靠背 23 块和座板 2 块，用 111 张板材裁切靠背 9 块和座板 6 块.