《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $O$ 是 $AC$ 边上的一个动点，过点 $O$ 作直线 $MN// BC$，设 $MN$ 交 $∠BCA$ 的平分线于点 $E$，交 $∠BCA$ 的外角平分线于点 $F$。
（1）求证：$EO = FO$。
（2）当点 $O$ 运动到何处时，四边形 $AECF$ 是矩形？并证明你的结论。

答案：
(1)
∵CE平分∠BCA,
∴∠1=∠2.
　　又MN//BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
　
∴EO=CO.同理,FO=CO.
∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
　　证明如下：
　
∵EO=FO,点O是AC的中点，
　
∴四边形AECF是平行四边形.
　　又∠1=∠2,∠4=∠5,
　
∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}$×180°=90°,即∠ECF=90°,
　
∴四边形AECF是矩形

15. 如图，$\triangle ABC$ 中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$。点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A→C→B$ 路径向终点运动，终点为点 $B$；点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $B→C→A$ 路径向终点运动，终点为点 $A$。点 $P$ 和 $Q$ 分别以每秒 $1$ 个单位长度和 $3$ 个单位长度的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 $P$ 和 $Q$ 作 $PE⊥l$ 于 $E$，$QF⊥l$ 于 $F$。问：点 $P$ 运动多长时间时，$\triangle PEC$ 与 $\triangle QFC$ 全等？请说明理由。

答案：
设运动时间为t秒时,△PEC与△QFC全等，
　　由题意知△PEC≌△CFQ,
　
∴斜边CP=CQ.有四种情况：如图①,P在AC上,Q 在BC上,CP=6−t,CQ=8−3t,
∴6−t=8−3t,
∴t=1;
　　　　 　　　　
　　如图②,P,Q都在AC上,此时P,Q重合，
　
∴CP=6−t=3t−8,
∴t=3.5;
　　　　 　　　　
　　如图③,P在BC上,Q在AC时,此时不存在;
　　理由是:8÷3×1＜6,Q到AC上时,P应也在AC上;
　　如图④,当Q到A点(和A重合),P在BC上时,
　
∵CQ=CP,CQ=AC=6,CP=t−6,
　
∴t−6=6,
∴t=12.
∵t＜14,
　
∴t=12符合题意，
　　故点P运动1或3.5或12秒时,△PEC与△QFC 全等

16. 通过类比引申、联想拓展研究典型题目，可达到解一题会一类题的目的。下面是一个原题：如图①，点 $E$，$F$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $BC$，$CD$ 上，$∠EAF = 45^{\circ}$，连接 $EF$，则 $EF = BE + DF$，试说明理由。
（1）思路梳理：$\because AB = AD$，$\therefore$ 把 $\triangle ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 至 $\triangle ADG$，使 $AB$ 与 $AD$ 重合。$\because ∠ADG = ∠B = 90^{\circ}$，$\therefore$ 点 $F$，$D$，$G$ 共线。根据______，易证 $\triangle AFG≌$______，得 $EF = BE + DF$。
（2）类比引申：如图②，四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$∠BAD = 90^{\circ}$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CD$ 上，$∠EAF = 45^{\circ}$。若 $∠B$，$∠D$ 都不是直角，则当 $∠B$ 与 $∠D$ 满足等量关系______时，仍有 $EF = BE + DF$。
（3）联想拓展：如图③，在 $\triangle ABC$ 中，$∠BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，点 $D$，$E$ 均在 $BC$ 上，且 $∠DAE = 45^{\circ}$，猜想 $BD$，$DE$，$EC$ 应满足的等量关系，并写出推理过程。

答案：

(1)SAS　△AFE
(2)∠B+∠D=180°
(3)猜想:DE²=BD²+EC².
　证明:如图,将△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△AE'B,
∴△AEC≌△AE'B,
∴BE'=EC,AE'=AE,∠C=∠ABE',∠EAC=∠E'AB,在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE'=90°,
　即∠E'BD=90°,
∴E'B²+BD²=E'D².
　又∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E'AB+∠BAD=45°,即∠E'AD=45°.
　在△AE'D和△AED中,$\begin{cases}AE' = AE, \\ \angle E'AD = \angle EAD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴△AE'D≌△AED(SAS),
∴DE=DE',
∴DE²=BD²+EC².