《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

11. 如图，$ l_1 // l_2 $，等边△ABC顶点A，B分别在$ l_1 $，$ l_2 $上，$ ∠2 = 45° $，则∠1度数为________.

答案： $15^{\circ}$

12. 在△ABC中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是________.

答案： 4.8

13. 已知两线段的长分别是5 cm，3 cm，则第三条线段长是________cm时，这三条线段构成直角三角形.

答案： 4 或 $ \sqrt{34} $

14. 如图，在△ABC中，$ AD ⊥ BC $，AE平分∠BAC，若$ ∠1 = 30° $，$ ∠2 = 20° $，则$ ∠B = $________.

答案： $ 50^{\circ} $

15. 已知a，b，c是△ABC的三边的长，b，c满足$ (b - 2)^2 + |c - 3| = 0 $，且a为方程$ |x - 4| = 2 $的解，则△ABC的周长为________，△ABC的形状为________.

答案： 7 等腰三角形

16. 如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点$ A_1 $，$ B_1 $，$ C_1 $，使得$ A_1B = 2AB $，$ B_1C = 2BC $，$ C_1A = 2CA $，顺次连接$ A_1 $，$ B_1 $，$ C_1 $，得到$ △A_1B_1C_1 $，记其面积为$ S_1 $；第二次操作，分别延长$ A_1B_1 $，$ B_1C_1 $，$ C_1A_1 $至点$ A_2 $，$ B_2 $，$ C_2 $，使得$ A_2B_1 = 2A_1B_1 $，$ B_2C_1 = 2B_1C_1 $，$ C_2A_1 = 2C_1A_1 $，顺次连接$ A_2 $，$ B_2 $，$ C_2 $，得到$ △A_2B_2C_2 $，记其面积为$ S_2 $；…，按此规律继续下去，可得到$ △A_5B_5C_5 $，则其面积$ S_5 = $________.

答案： 2476099 提示:在题图中,若连接 $ BC_{1} $,则 $ S_{\triangle BC_{1}A} $ 是 $ S_{\triangle BCA} $ 的 2 倍且 $ S_{\triangle BA_{1}C_{1}} $ 等于 $ S_{\triangle BC_{1}A} $ 的 2 倍,得 $ S_{\triangle AA_{1}C_{1}} $ 是 $ S_{\triangle BCA} $ 的 6 倍;同理连接 $ CA_{1} $,连接 $ AB_{1} $,则 $ S_{\triangle A_{1}BB_{1}} $ 是 $ S_{\triangle BCA} $ 的 6 倍, $ S_{\triangle B_{1}CC_{1}} $ 是 $ S_{\triangle BCA} $ 的 6 倍,则 $ S_{\triangle B_{1}A_{1}C_{1}} $ 等于 19.则第二次操作,总面积是 $ 19^{2} $,到第五次操作,总面积是 $ 19^{5} $,即 2476099.

17. （6分）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上.
（1）在图①中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画出一个即可）；
（2）在图②中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画出一个即可）.

答案：

(1)答案不唯一,如图①②,
　　 　　　
(2)答案不唯一,如图③④
　　 　　　

18. （6分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高.
（1）若$ ∠ACB = 100° $，求∠CAE的度数；
（2）若$ S_{△ABC} = 12 $，$ CD = 4 $，求高AE的长.

答案：
(1) $ \because AE $ 是 $ BC $ 边上的高, $ \therefore \angle E = 90^{\circ} $. 又 $ \because \angle ACB = 100^{\circ} $, $ \angle CAE + \angle E = \angle ACB $, $ \therefore \angle CAE = 100^{\circ} - 90^{\circ} = 10^{\circ} $.
(2) $ \because AD $ 是 $ BC $ 上的中线, $ DC = 4 $, $ \therefore D $ 为 $ BC $ 的中点, 且 $ BC = 2DC = 8 $. $ \because AE $ 是 $ BC $ 边上的高, $ S_{\triangle ABC} = 12 $, $ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AE $, 即 $ \frac{1}{2} × 8 × AE = 12 $, $ \therefore AE = 3 $.