《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

17. （1）填空：$ ( a - b ) ( a + b ) = $________；$ ( a - b ) ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } ) = $________；$ ( a - b ) ( a ^ { 3 } + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } ) = $________。
（2）猜想：$ ( a - b ) ( a ^ { n - 1 } + a ^ { n - 2 } b + \cdots + a b ^ { n - 2 } + b ^ { n - 1 } ) = $________（其中 $ n $ 为正整数，且 $ n \geq 2 $）。
（3）利用（2）猜想的结论计算：$ 2 ^ { 9 } - 2 ^ { 8 } + 2 ^ { 7 } - \cdots + 2 ^ { 3 } - 2 ^ { 2 } + 2 $。

答案：
(1)a²−b²　a³−b³　a⁴−b⁴　
(2)aⁿ−bⁿ　
(3)342

18. 如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”。例如：自然数 12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是 1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是 1，2，3，2，1，因此 12321 是一个“和谐数”，再如 22，545，3883，345543，$ \cdots $ 都是“和谐数”。
（1）请你直接写出 3 个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被 11 整除？并说明理由。
（2）已知一个能被 11 整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为 $ x ( 1 \leq x \leq 4 $，$ x $ 为自然数），十位上的数字为 $ y $，求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式。

答案：
(1)四位“和谐数”:1221,1331,1111,6666,...(答案不唯一),能，理由略.
(2)y=2x(1≤x≤4,x为自然数)