《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

19. （6分）如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C。请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性。

答案： 答案不唯一，如：已知：$∠B = ∠D,∠A = ∠C$. 求证：$∠1 = ∠2$.
证明：$\because ∠A = ∠C,\therefore AB// CD,\therefore ∠AEM = ∠D$.
$\because ∠B = ∠D,\therefore ∠AEM = ∠B,\therefore ED// BF$，
$\therefore ∠1 = ∠BNM$. 又 $∠BNM = ∠2,\therefore ∠1 = ∠2$.

20. （6分）如图，已知点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M，N分别是AC，BC的中点。
（1）求线段MN的长。
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。

答案：

(1) $MN = 7cm$
(2) $MN = \frac{1}{2}a cm$
(3) $MN = \frac{1}{2}b cm$. 如图所示.

理由如下：根据题意，得 $AC - BC = b cm,AM = MC = \frac{1}{2}AC,CN = BN = \frac{1}{2}CB$，
所以 $MN = BM + BN = (MC - BC) + \frac{1}{2}BC = (\frac{1}{2}AC - BC) + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AC + (-BC + \frac{1}{2}BC) = \frac{1}{2}(AC - BC) = \frac{1}{2}b(cm)$.

21. （6分）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系。
（1）如图①、②，AB//EF，BC//DE，∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由。
（2）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，试求这两个角的度数。

答案：
(1) 题图①中 $∠1 = ∠2$，题图②中 $∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$. 理由：如题图①，因为 $AB// EF$，所以 $∠AGD = ∠2$. 因为 $BC// DE$，所以 $∠AGD = ∠1$，所以 $∠1 = ∠2$. 如题图②，因为 $AB// EF$，所以 $∠AGE + ∠2 = 180^{\circ}$. 因为 $BC// DE$，所以 $∠AGE = ∠1$，所以 $∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$.
(2) 这两个角为 $30^{\circ},30^{\circ}$ 或 $70^{\circ},110^{\circ}$.

22. （6分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点。当n=1时，如图①，一条直线将一个平面分成两个部分；当n=2时，如图②，两条直线将一个平面分成四个部分，则：
（1）当n=3时，三条直线将一个平面分成______个部分；
（2）当n=4时，四条直线将一个平面分成______个部分；
（3）若n条直线将一个平面分成aₙ个部分，(n+1)条直线将一个平面分成aₙ₊₁个部分。试探索aₙ，aₙ₊₁，n之间的关系。

答案：
(1)7
(2)11
(3) $a_{n + 1} = a_n + (n + 1)$.