《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

17. 如图,一次函数 $y=kx+b$ 的图像与反比例函数 $y=\frac {m}{x}$ 的图像交于 $A(-2,1),B(1,n)$ 两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的取值范围.

答案：
(1) 根据题意，反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图像经过点 $ A(-2,1) $，$ \therefore m = xy = -2 $，$ \therefore $ 反比例函数的表达式为 $ y = -\frac{2}{x} $。
又反比例函数的图像经过点 $ B(1,n) $，
$ \therefore n = -2 $，$ \therefore B(1,-2) $。
将 $ A $，$ B $ 两点代入 $ y = kx + b $，得 $ \begin{cases} -2k + b = 1, \\ k + b = -2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -1, \\ b = -1. \end{cases} $
$ \therefore $ 一次函数的表达式为 $ y = -x - 1 $。
(2) $ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $。

18. 某气球内充满了一定量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 $p(kPa)$ 是气体体积 $V(m^{3})$ 的反比例函数,其图像如图所示.
(1)求这一反比例函数的表达式.
(2)当气体体积为 $1m^{3}$ 时,气压是多少?
(3)当气球内的气压大于 140 kPa 时,气球将爆炸,为了安全起见,气体的体积应不小于多少? (精确到 $0.01m^{3}$)

答案：
(1) 设 $ p = \frac{k}{V} $，
由题意知 $ 120 = \frac{k}{0.8} $，所以 $ k = 96 $，故 $ p = \frac{96}{V} $。
(2) 当 $ V = 1 \, \text{m}^3 $ 时，$ p = 96 \, \text{kPa} $。
(3) 当 $ p = 140 \, \text{kPa} $ 时，$ V = \frac{96}{140} \approx 0.69 (\text{m}^3) $。
所以为了安全起见，气体的体积应不小于 $ 0.69 \, \text{m}^3 $。

19. 为落实“双减”政策,丰富课后服务的内容,某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品,两个商店的优惠活动如下:
甲:所有商品按原价 8.5 折出售;
乙:一次购买商品总额不超过 300 元的按原价付费,超过 300 元的部分打 7 折.
设需要购买体育用品的原价总额为 x 元,去甲商店购买实付 $y_{甲}$ 元,去乙商店购买实付 $y_{乙}$ 元,其函数图像如图所示.
(1)分别求 $y_{甲},y_{乙}$ 关于 x 的函数表达式;
(2)两图像交于点 A,求点 A 坐标;
(3)请根据函数图像,直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

答案：
(1) 由题意可得，$ y_{\text{甲}} = 0.85x $，
当 $ 0 \leq x \leq 300 $ 时，$ y_{\text{乙}} = x $；
当 $ x ＞ 300 $ 时，$ y_{\text{乙}} = 300 + (x - 300) × 0.7 = 0.7x + 90 $，
则 $ y_{\text{乙}} = \begin{cases} x (0 \leq x \leq 300), \\ 0.7x + 90 (x ＞ 300). \end{cases} $
(2) 令 $ 0.85x = 0.7x + 90 $，解得 $ x = 600 $，
将 $ x = 600 $ 代入 $ y_{\text{甲}} = 0.85x $ 得 $ 0.85 × 600 = 510 $，
即点 $ A $ 的坐标为 $ (600, 510) $。
(3) 由图像可得，当 $ x ＜ 600 $ 时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当 $ x = 600 $ 时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当 $ x ＞ 600 $ 时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算。