《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

19. (8分)【基础探究】
如图①,四边形ABCD中,$ \angle ABC $和$ \angle BCD $的平分线交于点E,若$ \angle A = 140 ^ { \circ } $,$ \angle D = 80 ^ { \circ } $,则$ \angle BEC $的度数为____;
【拓展延伸】
如图②,四边形ABCD中,$ \angle ABC $和$ \angle BCD $的平分线交于点E,$ \angle BAD $和$ \angle ADC $的平分线交于点F.
(1)探索$ \angle E $与$ \angle F $有怎样的数量关系;
(2)给四边形ABCD添加一个条件,使得$ \angle E = \angle F $,则所添加的条件为____.

答案： 【基础探究】$ 110 ^ { \circ } $
【拓展延伸】
(1) $ \angle E + \angle F = 180 ^ { \circ } $。
(2) $ A B // C D $（答案不唯一）

20. (10分)如图,四边形ABCD是面积为S的平行四边形,其中$ AD // BC $,$ AB // CD $.
(1)如图①,点P为AD边上任意一点,则$ \triangle PAB $的面积$ S _ { 1 } $和$ \triangle PDC $的面积$ S _ { 2 } $之和与$ □ ABCD $的面积S之间的数量关系是____;
(2)如图②,设AC,BD交于点P,则$ \triangle PAB $的面积$ S _ { 1 } $和$ \triangle PDC $的面积$ S _ { 2 } $之和与$ □ ABCD $的面积S之间的数量关系是____;
(3)如图③,点P为$ □ ABCD $内任意一点时,试猜想$ \triangle PAB $的面积$ S _ { 1 } $和$ \triangle PDC $的面积$ S _ { 2 } $之和与$ □ ABCD $的面积S之间的数量关系,并加以证明;
(4)如图④,已知点P为$ □ ABCD $内任意一点,$ \triangle PAB $的面积为2,$ \triangle PBC $的面积为8,连接BD,求$ \triangle PBD $的面积.

答案：

(1) $ S _ { 1 } + S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } S $
(2) $ S _ { 1 } + S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } S $
(3) $ S _ { 1 } + S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } S $。
证明：如图，作 $ P E \perp A B $ 于点 $ E $，延长 $ E P $ 交 $ C D $ 于点 $ F $。
∵ $ A B // C D $，$ P E \perp A B $，
∴ $ P F \perp C D $，
∴ $ S _ { 1 } + S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \cdot A B \cdot P E + \frac { 1 } { 2 } \cdot C D \cdot PF = \frac { 1 } { 2 } AB \cdot EF = \frac { 1 } { 2 } S $。

(4) 设 $ \triangle P A D $ 的面积为 $ x $，$ \triangle P D C $ 的面积为 $ y $，则 $ 2 + y = 8 + x $，
∴ $ y - x = 6 $。
∴ $ \triangle P B D $ 的面积 $ = 2 + y - ( 2 + x ) = y - x = 6 $。