《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

20. （6分）（1）观察下列算式：$\frac {1}{6}=\frac {1}{2×3}=\frac {1}{2}-\frac {1}{3}$；$\frac {1}{12}=\frac {1}{3×4}=\frac {1}{3}-\frac {1}{4}$；$\frac {1}{20}=\frac {1}{4×5}=\frac {1}{4}-\frac {1}{5}$；…。
由此可推断：$\frac {1}{42}=$____；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律；
（3）解方程：$\frac {1}{(x-2)(x-3)}-\frac {3}{(x-1)(x-4)}+\frac {1}{(x-1)(x-2)}=\frac {1}{x-4}$。

答案：
(1) $ \frac{1}{6 × 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $
(2) $ \frac{1}{m(m + 1)} = \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1} $
(3) 解方程得 $ x = 2 $，经检验，$ x = 2 $ 是原方程的增根，所以原方程无解。

21. （6分）已知关于x的分式方程$\frac {2}{x-1}+\frac {mx}{(x-1)(x+2)}=\frac {1}{x+2}$。
（1）若方程的增根为$x=1$，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值；
（3）若方程无解，求m的值。

答案： 方程两边同时乘 $ (x + 2)(x - 1) $，去分母并整理得 $ (m + 1)x = -5 $。
(1) $ \because x = 1 $ 是分式方程的增根，$ \therefore 1 + m = -5 $，解得 $ m = -6 $。
(2) $ \because $ 原分式方程有增根，$ \therefore (x + 2)(x - 1) = 0 $，解得 $ x = -2 $ 或 $ x = 1 $，当 $ x = -2 $ 时，$ m = 1.5 $；当 $ x = 1 $ 时，$ m = -6 $。
(3) 当 $ m + 1 = 0 $ 时，该方程无解，此时 $ m = -1 $；当 $ m + 1 \neq 0 $ 时，要使原方程无解，由
(2) 得 $ m = -6 $ 或 $ m = 1.5 $，综上，$ m $ 的值为 -1 或 -6 或 1.5。

22. （8分）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000m的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程。已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20m，且甲工程队铺设350m所用的天数与乙工程队铺设250m所用的天数相同。
（1）甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来。

答案：
(1) 设甲工程队每天能铺设 $ x $ m，则乙工程队每天能铺设 $ (x - 20) $ m。根据题意，得 $ \frac{350}{x} = \frac{250}{x - 20} $。解得 $ x = 70 $。经检验，$ x = 70 $ 是原分式方程的解。故甲、乙两个工程队每天分别能铺设 70 m 和 50 m。
(2) 设分配给甲工程队 $ y $ m，则分配给乙工程队 $ (1000 - y) $ m。由题意，得 $ \begin{cases} \frac{y}{70} \leq 10, \\ \frac{1000 - y}{50} \leq 10 \end{cases} $ 解得 $ 500 \leq y \leq 700 $。$ \therefore $ 分配方案有 3 种。
方案一：分配给甲工程队 500 m，分配给乙工程队 500 m；
方案二：分配给甲工程队 600 m，分配给乙工程队 400 m；
方案三：分配给甲工程队 700 m，分配给乙工程队 300 m。