《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

19. （8分）如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达A，B两点，且$ AB = 30 $海里，问乙轮船每小时航行多少海里？

答案： $ \because $ 甲轮船向东南方向航行, 乙轮船向西南方向航行, $ \therefore \angle AOB = 90^{\circ} $. $ \because $ 甲轮船以 16 海里/时的速度航行了 1.5 小时, $ \therefore OA = 16 × 1.5 = 24 $ (海里). 在 $ Rt \triangle AOB $ 中, $ AB = 30 $ 海里, $ OA = 24 $ 海里, $ \therefore OB^{2} = AB^{2} - OA^{2} $, $ \therefore OB = 18 $ 海里, $ \therefore $ 乙轮船每小时航行 $ 18 ÷ 1.5 = 12 $ (海里).

20. （8分）如图，四边形ABCD中，$ AB ⊥ BC $，$ AD ⊥ CD $，AC边的中点为M，BD边的中点为N，判断MN与BD之间的位置关系，并说明理由.

答案：
$ MN \perp BD $. 理由如下: 如图, 连接 $ BM, DM $, 则 $ BM, DM $ 分别是 $ Rt \triangle ABC, Rt \triangle ADC $ 斜边上的中线, 得 $ BM = \frac{1}{2}AC $, $ DM = \frac{1}{2}AC $, $ \therefore BM = DM $. 又 $ BD $ 边的中点为 $ N $, 则 $ MN \perp BD $ (等腰三角形的“三线合一”性质).
　　　　　　　　

21. （8分）如图，点O是等边三角形ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.已知$ ∠AOB = 110° $，$ ∠BOC = α $.
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当$ α = 150° $时，试判断△AOD的形状；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形.

答案：
(1) $ \because $ 将 $ \triangle BOC $ 绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转 $ 60^{\circ} $ 得 $ \triangle ADC $, $ \therefore \angle OCD = 60^{\circ} $, $ CO = CD $, $ \therefore \triangle COD $ 是等边三角形.
(2) $ \triangle AOD $ 是直角三角形.
(3) $ \angle AOD = 360^{\circ} - \angle AOB - \angle BOC - \angle COD = 360^{\circ} - 110^{\circ} - \alpha - 60^{\circ} = 190^{\circ} - \alpha $, $ \angle ADO = \angle ADC - \angle CDO = \alpha - 60^{\circ} $, $ \angle OAD = 180^{\circ} - \angle AOD - \angle ADO = 180^{\circ} - (190^{\circ} - \alpha) - (\alpha - 60^{\circ}) = 50^{\circ} $, 若 $ \angle ADO = \angle AOD $, 则 $ \alpha - 60^{\circ} = 190^{\circ} - \alpha $, 解得 $ \alpha = 125^{\circ} $; 若 $ \angle ADO = \angle OAD $, 则 $ \alpha - 60^{\circ} = 50^{\circ} $, 解得 $ \alpha = 110^{\circ} $; 若 $ \angle OAD = \angle AOD $, 则 $ 50^{\circ} = 190^{\circ} - \alpha $, 解得 $ \alpha = 140^{\circ} $. $ \therefore $ 当 $ \alpha $ 为 $ 125^{\circ} $ 或 $ 110^{\circ} $ 或 $ 140^{\circ} $ 时, $ \triangle AOD $ 是等腰三角形.