《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

20. 学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离 y(米)与时间 t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图像信息,当 $t=$____分钟时,甲、乙两人相遇,甲的速度为____米/分钟;
(2)求出线段 AB 所表示的函数表达式.

答案：
(1) 24 40
(2) $ \because $ 甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，$ t = 24 $ 分钟时甲、乙两人相遇，
$ \therefore $ 甲、乙两人的速度和为 $ 2400 ÷ 24 = 100 $（米/分钟），
$ \therefore $ 乙的速度为 $ 100 - 40 = 60 $（米/分钟）。
乙从图书馆回学校的时间为 $ 2400 ÷ 60 = 40 $（分钟），
$ 40 × 40 = 1600 $，$ \therefore A $ 点的坐标为 $ (40, 1600) $。
设线段 $ AB $ 所表示的函数表达式为 $ y = kt + b $，
$ \because A(40, 1600) $，$ B(60, 2400) $，$ \therefore \begin{cases} 40k + b = 1600, \\ 60k + b = 2400, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 40, \\ b = 0, \end{cases} $ $ \therefore $ 线段 $ AB $ 所表示的函数表达式为 $ y = 40t $ $ (40 \leq t \leq 60) $。

21. 某市接到上级通知,派出甲、乙两个抗震救灾小组同时乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 km 的灾区.图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走的路程 $y_{甲}(km),y_{乙}(km)$ 与时间 $x(h)$ 之间的函数关系对应的图像.请根据图像所提供的信息,解决下列问题:
(1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了多久?
(2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区,请问:甲组的汽车在排除故障时,距出发点的路程是多少千米?
(3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过 35 km,请通过计算说明,按图像所表示的走法是否符合约定.

答案：
(1) 由图像知，甲组在途中停留了 $ 2 \, \text{h} $。
(2) 设直线 $ OD $ 的表达式为 $ y = k_1x $，
$ \because $ 点 $ D(8, 480) $ 在直线 $ OD $ 上，$ \therefore 480 = 8k_1 $，$ k_1 = 60 $，
$ \therefore $ 直线 $ OD $ 的表达式为 $ y = 60x $。
当 $ x = 7.25 $ 时，$ y = 435 $，$ \therefore E(7.25, 435) $。
设直线 $ BC $ 的表达式为 $ y = k_2x + b $，
$ \because $ 点 $ E(7.25, 435) $，$ C(7.7, 480) $ 在直线 $ BC $ 上，
$ \therefore \begin{cases} 435 = 7.25k_2 + b, \\ 480 = 7.7k_2 + b, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k_2 = 100, \\ b = -290, \end{cases} $
$ \therefore y = 100x - 290 $。
当 $ x = 6.5 $ 时，$ y = 360 $，
$ \therefore B(6.5, 360) $。
$ \therefore $ 甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是 $ 360 \, \text{km} $。
(3) 由图像可知：第一次相遇后在点 $ B $，$ C $ 两处甲、乙两组相距最远。在点 $ B $ 处有 $ y_{\text{乙}} - y_{\text{甲}} = 60 × 6.5 - 360 = 30 ＜ 35 $；
在点 $ C $ 处有 $ y_{\text{甲}} - y_{\text{乙}} = 480 - 60 × 7.7 = 18 ＜ 35 $。
$ \therefore $ 按图像所表示的走法符合约定。