《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

20. （9分）如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上。若ED=4cm，FC=1cm，∠BAC=76°，∠EAC=58°。
(1)求BF的长度；
(2)求∠CAD的度数；
(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？

答案：
(1)$\because \triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 关于直线 $MN$ 对称，$ED = 4cm$，$FC = 1cm$，$\therefore BC = ED = 4cm$，$\therefore BF = BC - FC = 3cm$.
(2)$\because \triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 关于直线 $MN$ 对称，$∠BAC = 76^{\circ}$，$∠EAC = 58^{\circ}$，$\therefore ∠EAD = ∠BAC = 76^{\circ}$，$\therefore ∠CAD = ∠EAD - ∠EAC = 76^{\circ} - 58^{\circ} = 18^{\circ}$.
(3)结论：直线 $MN$ 垂直平分线段 $EC$. 理由如下：$\because E$，$C$ 关于直线 $MN$ 对称，$\therefore$ 直线 $MN$ 垂直平分线段 $EC$.

21. （9分）已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，BD，CD交于点D，EF过点D交AB于点E，交AC于点F。
(1)如图①，若EF//BC，则∠BDE+∠CDF的度数为______（用含有∠A的代数式表示）。
(2)当直线EF绕点D旋转到如图②所示的位置时，(1)中的结论是否成立？请说明理由。
(3)当直线EF绕点D旋转到如图③所示的位置时，(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠BDE，∠CDF与∠A之间的关系。

答案：
(1)$90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$ 提示：$\because BD$ 平分 $∠ABC$，$CD$ 平分 $∠ACB$，$\therefore ∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠DCB = \frac{1}{2}∠ACB$，$\therefore ∠DBC + ∠DCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠A) = 90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$. $\because ∠BDC = 180 - (∠DBC + ∠DCB)$，$\therefore ∠BDC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}∠A$，$\therefore ∠BDE + ∠CDF = 180 - ∠BDC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$，故答案为 $90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$.
(2)仍然成立. 理由：$\because BD$ 平分 $∠ABC$，$CD$ 平分 $∠ACB$，$\therefore ∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠DCB = \frac{1}{2}∠ACB$，$\therefore ∠DBC + ∠DCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠A) = 90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$. $\because ∠BDC = 180^{\circ} - (∠DBC + ∠DCB)$，$\therefore ∠BDC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}∠A$，$\therefore ∠BDE + ∠CDF = 180 - ∠BDC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$.
(3)不成立. $\because BD$ 平分 $∠ABC$，$CD$ 平分 $∠ACB$，$\therefore ∠DBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠DCB = \frac{1}{2}∠ACB$，$\therefore ∠DBC + ∠DCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠A) = 90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$. $\because ∠BDC = 180^{\circ} - (∠DBC + ∠DCB)$，$\therefore ∠BDC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}∠A$. $\because (∠BDC - ∠CDF) + ∠BDE = 180^{\circ}$，$\therefore ∠BDE - ∠CDF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}∠A$.