《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

19. 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数。如 $ \frac { 1 } { 2 } $，$ \frac { 1 } { 3 } $，$ \frac { 1 } { 4 } $，$ \cdots $，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如：$ \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 6 } $，$ \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 12 } $，$ \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 20 } $，$ \cdots $。
（1）根据对上述式子的观察，你会发现：$ \frac { 1 } { 5 } = \frac { 1 } { □ } + \frac { 1 } { ◯ } $。请写出 $ □ $，$ ◯ $ 所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数 $ \frac { 1 } { n } $（$ n $ 是不小于 2 的正整数）$ = \frac { 1 } { \triangle } + \frac { 1 } { ☆ } $，请写出 $ \triangle $，$ ☆ $ 所表示的式子，并加以验证。

答案：
(1)□表示的数为6,○表示的数为30.
(2)△表示的式子为n+1,☆表示的式子为n(n+1).验证:
∵$\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{n}{n(n + 1)}+\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{n + 1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}$，
∴△表示的式子为n+1,☆表示的式子为n(n+1).

20. 定义：对于平面直角坐标系 $ x O y $ 中的线段 $ P Q $ 和点 $ M $，在 $ \triangle M P Q $ 中，当 $ P Q $ 边上的高为 2 时，称 $ M $ 为 $ P Q $ 的“等高点”，称此时 $ M P + M Q $ 为 $ P Q $ 的“等高距离”。
（1）若 $ P ( 1,2 ) $，$ Q ( 4,2 ) $。
①在点 $ A ( 1,0 ) $，$ B \left( \frac { 5 } { 2 }, 4 \right) $，$ C ( 0,3 ) $ 中，$ P Q $ 的“等高点”是________；
②若 $ M ( t, 0 ) $ 为 $ P Q $ 的“等高点”，求 $ P Q $ 的“等高距离”的最小值及此时 $ t $ 的值。
（2）若 $ P ( 0,0 ) $，$ P Q = 2 $，当 $ P Q $ 的“等高点”在 $ y $ 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点 $ Q $ 的坐标。

答案：

(1)①A,B
　②如图,作点P关于x轴的对称点P',连接P'Q,P'Q 与x轴的交点即为“等高点”M,此时“等高距离”最小,最小值为线段P'Q的长.
　　　　　　
∵P(1,2),
∴P'(1,−2).
　设直线P'Q的函数表达式为y=kx+b,
　根据题意，有$\begin{cases}k + b = -2\\4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{4}{3}\\b = -\frac{10}{3}\end{cases}$
∴直线P'Q的函数表达式为$y = \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}$.
　当y=0时,解得$x = \frac{5}{2}$，即$t = \frac{5}{2}$.
　根据题意,可知PP'=4,PQ=3,PQ⊥PP',
∴$P'Q = \sqrt{PP'^2 + PQ^2} = 5$.
∴“等高距离”的最小值为5.
(2)$Q(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5})$ 或 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5})$