《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

18. 如图，已知直线 $ y = 2x + 4 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，点 $ P $ 在坐标轴上，且 $ PO = 2AO $。求 $ \triangle ABP $ 的面积。

答案： 令y=0,则由0=2x+4,得x=−2,
∴A(−2,0),AO=2.令x=0,则y=2×0+4=4,
∴B(0,4),BO=4.
∵PO=2AO=4,P在坐标轴上,
∴点P有如下四种情况:
①当点P在x轴的负半轴上时,AP=2,
∴$S_{\triangle ABP}$=$\frac{1}{2}$AP·BO=$\frac{1}{2}$×2×4=4;
②当点P在x轴的正半轴上时,PA=6,
∴$S_{\triangle ABP}$=$\frac{1}{2}$AP·BO=$\frac{1}{2}$×6×4=12;
③当点P在y轴的负半轴上时，
PB=PO+OB=4+4=8,
∴$S_{\triangle ABP}$=$\frac{1}{2}$PB·AO=$\frac{1}{2}$×8×2=8;
④当点P在y轴的正半轴上时,PO=4,P,B重合,△ABP不存在.
综上,△ABP的面积为4,12或8.

19. 如图，已知 $ \triangle ABC,AB = AC = 10\mathrm{cm},BC = 8\mathrm{cm} $，点 $ D $ 为 $ AB $ 的中点。点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上以 $ 3\mathrm{cm/s} $ 的速度由 $ B $ 点向 $ C $ 点运动。同时，点 $ Q $ 在线段 $ CA $ 上以相同速度由 $ C $ 点向 $ A $ 点运动。一个点到达终点后另一个点也停止运动。当 $ \triangle BPD $ 与 $ \triangle CQP $ 全等时，求点 $ P $ 运动的时间。

答案：
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
设点P,Q的运动时间为t,则BP=3t,CQ=3t,
∵AB=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点,
∴BD=$\frac{1}{2}$×10=5(cm),PC=(8−3t)cm.
①当BD与PC是对应边时，
∵△BPD与△CQP全等,
∴BD=PC,BP=CQ,
∴5=8−3t且3t=3t,解得t=1.
②当BD与CQ是对应边时，
∵△BPD与△CQP 全等,
∴BD=CQ,BP=PC,
∴5=3t且3t=8−3t,解得t=$\frac{5}{3}$且t=$\frac{4}{3}$,舍去
综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1秒.

20. 某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的 $ 80\% $ 出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：
| 消费金额/元 | $ 300\sim400 $ | $ 400\sim500 $ | $ 500\sim600 $ | $ 600\sim700 $ | $ 700\sim900 $ | $ \cdots $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 返还金额/元 | $ 30 $ | $ 60 $ | $ 100 $ | $ 130 $ | $ 150 $ | $ \cdots $ |
注：$ 300\sim400 $ 表示消费金额大于 $ 300 $ 元且小于或等于 $ 400 $ 元，其他类同。
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为 $ 400 $ 元的商品，则消费金额为 $ 320 $ 元，获得的优惠额为 $ 400×(1 - 80\%)+30 = 110 $（元）。
(1) 购买一件标价为 $ 1000 $ 元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
(2) 如果顾客购买标价不超过 $ 800 $ 元的商品，要使获得的优惠额不少于 $ 226 $ 元，那么该商品的标价至少为多少元？

答案：
(1)购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元,
顾客获得的优惠额为1000×(1−80%)+150=350(元).
(2)设该商品的标价为x元
当80%x≤500,即x≤625时,
顾客获得的优惠额不超过625×(1−80%)+60=185＜226;
当500＜80%x≤600,即625＜x≤750时,
由(1−80%)x+100≥226,
解得x≥630.
∴630≤x≤750.
当600＜80%x≤800×80%,即750＜x≤800时，
顾客获得的优惠额大于750×(1−80%)+130=280＞226.
综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元,那么该商品的标价至少为630元