《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

20. (6分)若不等式组$\begin{cases}2x - a＜1,\\x - 2b＞3\end{cases}$的解集为$-1＜x＜1$,求$(a + 1)(b - 1)$的值.

答案： 由原不等式组得 $ \begin{cases} x ＜ \frac{1}{2}(a + 1) \\ x ＞ 2b + 3 \end{cases} $。
∵ 该不等式组的解集为 $ - 1 ＜ x ＜ 1 $，
∴ $ \begin{cases} \frac{1}{2}(a + 1) = 1 \\ 2b + 3 = - 1 \end{cases} $。
解得 $ \begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \end{cases} $，
∴ $ (a + 1)(b - 1) = 2 × (- 3) = - 6 $。

21. (6分)关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x + 15}{2}＞x - 3,\frac{2x + 2}{3}＜x + a\end{cases}$只有4个整数解.
(1)求$a$的取值范围;
(2)当$a$取最大值时,在数轴上表示不等式组的解集.

答案：

(1) $ - 5 ＜ a \leq - \frac{14}{3} $。
(2) 当 $ a $ 取最大值，即 $ a = - \frac{14}{3} $ 时，
不等式组的解集为 $ 16 ＜ x ＜ 21 $，
其解集在数轴上表示如下。

22. (6分)已知甲、乙两种原料中均含有$A$元素,其含量及每吨原料的购买单价如下表所示:
| |$A$元素含量|单价/(万元/t)|
|--|--|--|
|甲原料|5%|2.5|
|乙原料|8%|6|
已知用甲原料提取每千克$A$元素要排放废气1t,用乙原料提取每千克$A$元素要排放废气0.5t.若某厂要提取$A$元素20kg,并要求废气排放不超过16t,问:该厂购买这两种原料最少需要多少万元?

答案： 设购买甲、乙两种原料分别为 $ x $ t 和 $ y $ t，则
$ \begin{cases} 5\% \cdot x \cdot 1000 + 8\% \cdot y \cdot 1000 = 20 \\ 5\% \cdot x \cdot 1000 × 1 + 8\% \cdot y \cdot 1000 × 0.5 \leq 16 \end{cases} $，
即 $ \begin{cases} 5x + 8y = 2 \\ 50x + 40y \leq 16 \end{cases} $，
∴ $ y \geq 0.1 $。
设购买甲、乙两种原料所需要的费用为 $ W $ 万元，则
$ W = 2.5x + 6y = 2.5 × \frac{2 - 8y}{5} + 6y = 1 + 2y \geq 1.2 $，
∴ 当 $ y = 0.1 $，$ x = 0.24 $ 时，$ W_{\text{最小}} = 1.2 $。
故该厂购买这两种原料最少需要 1.2 万元。