《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学苏科版》

20. （6分）先化简，再求值：$\frac{a^2 - 1}{a - 1} - \frac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a} - \frac{1}{a}$，其中$a = \sqrt{2} - 1$。

答案： 原式 $ = a + 1 $，当 $ a = \sqrt { 2 } - 1 $ 时，原式 $ = \sqrt { 2 } $。

21. （6分）已知$x$，$y$是实数，并且$\sqrt{3x + 1} + y^2 - 6y + 9 = 0$，求$(xy)^{1000}$的值。

答案： 1

22. （6分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务。
斐波那契（约1170~1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）。后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数。斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用。斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n]$表示（其中$n \geq 1$）。这是用无理数表示有理数的一个范例。
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数。

答案： 解：
当$n = 1$时，
$\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^1 - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^1]\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1 + \sqrt{5}-(1 - \sqrt{5})}{2}\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1 + \sqrt{5}-1 + \sqrt{5}}{2}\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2\sqrt{5}}{2}\\=&1\end{aligned}$
当$n = 2$时，
$\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^2]\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + 2\sqrt{5}+5}{4}) - (\frac{1 - 2\sqrt{5}+5}{4})]\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1 + 2\sqrt{5}+5-(1 - 2\sqrt{5}+5)}{4}\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1 + 2\sqrt{5}+5 - 1 + 2\sqrt{5}-5}{4}\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{4\sqrt{5}}{4}\\=&1\end{aligned}$
所以斐波那契数列中的第$1$个数是$1$，第$2$个数是$1$。