《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

8. 利用公式法可解得一元二次方程$3x^{2}-11x-1= 0$的两个实数解为a,b,且$a＞b$,则a的值为(D)

A. $\frac {-11+\sqrt {109}}{6}$
B. $\frac {-11+\sqrt {133}}{6}$
C. $\frac {11+\sqrt {109}}{6}$
D. $\frac {11+\sqrt {133}}{6}$

答案： D

9. 用公式法解一元二次方程$3x^{2}+(m+1)x-4= 0$时,$b^{2}-4ac$的值是73,则m的值为-6或4.

答案： -6或4

10. 若一元二次方程$x^{2}+bx+4= 0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0)$,则$b+\sqrt {b^{2}-16}= $-2m(用含m的代数式表示).

答案： -2m

11. (教材例6(2)变式)用公式法解下列方程：
(1)$3x(x-2)-2x= 4$；$x_{1}=\frac{4+2\sqrt{7}}{3},x_{2}=\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$
(2)$(x+1)(x-3)= 2x-5$；$x_{1}=2-\sqrt{2},x_{2}=2+\sqrt{2}$
(3)$(x+1)^{2}-(x+1)-1= 0$.$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

答案：
(1)$x_{1}=\frac{4+2\sqrt{7}}{3},x_{2}=\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$
(2)$x_{1}=2-\sqrt{2},x_{2}=2+\sqrt{2}$
(3)$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

12. 已知一个矩形的相邻两边长分别为$2m-1和m+3$,若此矩形的面积为30,求这个矩形的周长.

答案： 解:由题意,得$(2m-1)(m+3)=30$,
则$2m^{2}+5m-33=0$,
解得$m_{1}=-\frac{11}{2}$(舍去),$m_{2}=3$,
∴这个矩形的相邻两边长分别为5和6.
故这个矩形的周长为$(5+6)×2=22$.

13. 核心素养创新意识古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,形如$x^{2}+ax= b^{2}(a＞0,b＞0)$的方程的图解法是：如图1-2-1,以$\frac {a}{2}$和b为两直角边作$Rt△ABC(BC= \frac {a}{2},AC= b)$,再在斜边AB上截取$BD= \frac {a}{2}$,则AD的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母a,b的式子表示AD的长；$\frac{-a+\sqrt{4b^{2}+a^{2}}}{2}$
(2)请利用公式法说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处.
正确性：AD的长就是方程的正根.
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根

答案： 解:
(1)$\because ∠ACB=90^{\circ},BC=\frac{a}{2},AC=b$,
$\therefore AB=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$,
$\therefore AD=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}-\frac{a}{2}=\frac{-a+\sqrt{4b^{2}+a^{2}}}{2}$.
(2)$x^{2}+ax-b^{2}=0$,用公式法求得$x_{1}=\frac{-a+\sqrt{4b^{2}+a^{2}}}{2},x_{2}=\frac{-a-\sqrt{4b^{2}+a^{2}}}{2}$.
正确性:AD的长就是方程的正根.
遗憾之处:图解法不能表示方程的负根.