《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

1. 解下列方程:
(1)$2x^2 = 1$;$x_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$(x - 2)^2 - 3 = 0$;$x_{1}=2+\sqrt{3},x_{2}=2-\sqrt{3}$
(3)$9(x + 1)^2 - 4 = 0$;$x_{1}=-\frac{1}{3},x_{2}=-\frac{5}{3}$
(4)$\frac{1}{2}(3y - 1)^2 - 8 = 0$;$y_{1}=\frac{5}{3},y_{2}=-1$
(5)$(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$.$x_{1}=1,x_{2}=-1$

答案： $(1)$ 解方程$2x^{2}=1$
解：
将方程两边同时除以$2$，得到$x^{2}=\frac{1}{2}$。
根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x = \pm\sqrt{a}$，所以$x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$，化简$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$(2)$ 解方程$(x - 2)^{2}-3 = 0$
解：
首先将方程移项，得到$(x - 2)^{2}=3$。
根据平方根的定义，$x - 2=\pm\sqrt{3}$。
然后求解$x$，$x = 2\pm\sqrt{3}$。
$(3)$ 解方程$9(x + 1)^{2}-4 = 0$
解：
先移项可得$9(x + 1)^{2}=4$，
两边同时除以$9$，$(x + 1)^{2}=\frac{4}{9}$。
根据平方根的定义，$x + 1=\pm\sqrt{\frac{4}{9}}$，即$x + 1=\pm\frac{2}{3}$。
当$x + 1=\frac{2}{3}$时，$x=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$；
当$x + 1=-\frac{2}{3}$时，$x=-\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}$。
$(4)$ 解方程$\frac{1}{2}(3y - 1)^{2}-8 = 0$
解：
移项得$\frac{1}{2}(3y - 1)^{2}=8$，
两边同时乘以$2$，$(3y - 1)^{2}=16$。
根据平方根的定义，$3y - 1=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
当$3y - 1 = 4$时，$3y=4 + 1=5$，$y=\frac{5}{3}$；
当$3y - 1=-4$时，$3y=-4 + 1=-3$，$y=-1$。
$(5)$ 解方程$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$
解：
根据平方根的性质，若$a^{2}=b^{2}$，则$a = b$或$a=-b$。
所以$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3=-(3x + 2)$。
当$2x + 3 = 3x + 2$时，
移项可得$3 - 2=3x - 2x$，解得$x = 1$；
当$2x + 3=-(3x + 2)$时，
去括号得$2x + 3=-3x - 2$，
移项得$2x + 3x=-2 - 3$，
合并同类项得$5x=-5$，解得$x=-1$。
综上，$(1)$中$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$；$(2)$中$x = 2\pm\sqrt{3}$；$(3)$中$x=-\frac{1}{3}$或$x = -\frac{5}{3}$；$(4)$中$y=\frac{5}{3}$或$y=-1$；$(5)$中$x = 1$或$x=-1$。

2. 解方程$x^2 - \sqrt{2}x = 0$,较简便的解法是(D)
A. 直接开平方法
B. 配方法
C. 公式法
D. 因式分解法

答案： D

3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$x^2 - 3x = 4(x - 3)$的两个实数根,则该直角三角形斜边上的中线长是 (D)
A. 3
B. 4
C. 6
D. 2.5

答案： D

4. 一元二次方程$x(x - 2) = x - 2$的根是$x_{1}=2,x_{2}=1$.

答案： $x_{1}=2,x_{2}=1$

5. 解下列方程:
(1)$x(x - 1) + x - 1 = 0$;$x_{1}=1,x_{2}=-1$
(2)$4(x - 3)^2 - 25(x - 2)^2 = 0$;$x_{1}=\frac{16}{7},x_{2}=\frac{4}{3}$
(3)$(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$;$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$
(4)$(x - 2)(x - 3) = 6$.$x_{1}=0,x_{2}=5$

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=-1$
(2)$x_{1}=\frac{16}{7},x_{2}=\frac{4}{3}$
(3)$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$
(4)$x_{1}=0,x_{2}=5$