《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

1. 某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件,如果每件每涨价1元,那么每星期少卖出10件.设每件涨价x元,则每星期的销量为150 - 10x件,此时,每件商品的利润为10 + x元.若使每星期的利润为1560元,则可得方程为(150 - 10x)(10 + x) = 1560.

答案： $(150 - 10x)(10 + x)$
$(150 - 10x)(10 + x) = 1560$

2. 某商场将进货单价为45元的某种服装以65元的单价售出,平均每天可售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现：每件每降价1元,则每天可多售5件.如果每天要盈利800元,那么每件应降价10元.

答案： 1. 设每件应降价$x$元：
首先，分析售价、销售量和利润的关系。
原来售价为$65$元，降价$x$元后，售价为$(65 - x)$元；
原来每天售$30$件，每降价$1$元多售$5$件，降价$x$元后，每天可售$(30 + 5x)$件；
每件的利润$=$售价$-$进价，进价为$45$元，所以每件利润为$(65 - x-45)$元。
然后，根据“总利润$=$每件利润$×$销售量”列方程：
可得$(65 - x - 45)(30 + 5x)=800$。
2. 化简方程：
先化简$65 - x - 45$得$20 - x$，则方程变为$(20 - x)(30 + 5x)=800$。
展开括号：
根据$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，这里$a = 20$，$b=-x$，$c = 30$，$d = 5x$，则$20×30+20×5x-30x-5x^{2}=800$。
即$600 + 100x-30x - 5x^{2}=800$。
整理得：
$-5x^{2}+70x + 600 - 800 = 0$，进一步化为$x^{2}-14x + 40 = 0$。
3. 求解一元二次方程$x^{2}-14x + 40 = 0$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-14$，$c = 40$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-14)^{2}-4×1×40=196 - 160 = 36$。
则$x=\frac{14\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{14\pm6}{2}$。
当$x=\frac{14 + 6}{2}$时，$x_{1}=\frac{14 + 6}{2}=10$；
当$x=\frac{14 - 6}{2}$时，$x_{2}=\frac{14 - 6}{2}=4$。
4. 再根据“尽快减少库存”进行取舍：
因为要尽快减少库存，销售量$y = 30 + 5x$，$x$越大，$y$越大，库存减少越快。
所以$x = 10$。
故每件应降价$10$元。

3. 商场销售的某种冰箱的每台进货价为2500元.市场调研表明,当每台销售价为2900元时,平均每天能售出8台；当每台销售价每降低50元时,平均每天能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的销售价应为多少元？

答案： 解：设每台冰箱降价$50x$元。
则每台冰箱的销售利润为$(2900 - 2500 - 50x)$元，每天销售的台数为$(8 + 4x)$台。
根据销售利润$=$每台利润$×$销售数量，可列方程：
$(2900 - 2500 - 50x)(8 + 4x)=5000$
化简得：$(400 - 50x)(8 + 4x)=5000$
展开括号：$3200 + 1600x - 400x - 200x^{2}=5000$
移项并整理：$200x^{2}-1200x + 1800 = 0$
两边同时除以$200$：$x^{2}-6x + 9 = 0$
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 3$，方程可化为$(x - 3)^{2}=0$
解得：$x = 3$
那么每台冰箱的销售价为$2900 - 50×3=2900 - 150 = 2750$（元）
答：每台冰箱的销售价应为$2750$元。

4. (2024连云港连云区期中)旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游,推出如下收费标准：

一单位组织员工去该风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用27000元.
请问：
(1)该单位去该风景区旅游的人数是否超过25人？(该单位去该风景区旅游的人数超过25人)
(2)该单位这次共有多少名员工去该风景区旅游？(30名)

答案： 1. （1）判断人数是否超过$25$人：
若人数不超过$25$人，即$x\leqslant25$，则总费用$y = 1000x$。
当$x = 25$时，$y=1000×25 = 25000$元。
因为$27000\gt25000$，所以该单位去该风景区旅游的人数超过$25$人。
2. （2）设该单位这次共有$x$名员工去该风景区旅游（$x\gt25$）：
人均收费为$[1000 - 20(x - 25)]$元，根据总费用$y=x[1000 - 20(x - 25)]$，且$y = 27000$，则：
先化简人均收费：$1000-20(x - 25)=1000-20x + 500=1500-20x$。
所以方程为$x(1500 - 20x)=27000$。
展开方程得$1500x-20x^{2}=27000$。
两边同时除以$- 20$得$x^{2}-75x + 1350 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-75$，$c = 1350$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-75)^{2}-4×1×1350=5625 - 5400 = 225$。
则$x=\frac{75\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{75\pm15}{2}$。
当$x=\frac{75 + 15}{2}$时，$x_{1}=\frac{75 + 15}{2}=45$；当$x=\frac{75-15}{2}$时，$x_{2}=\frac{75 - 15}{2}=30$。
再检验人均收费：
当$x = 45$时，人均收费$1500-20×(45 - 25)=1500-400 = 1100\gt700$（舍去，因为$1000-20(x - 25)$的取值范围是$700\leqslant1000-20(x - 25)\leqslant1000$，当$x = 45$时，$1000-20(x - 25)=1000-20×20 = 600\lt700$）。
当$x = 30$时，人均收费$1500-20×(30 - 25)=1500-100 = 1400\gt700$，且$1000-20(x - 25)=1000-20×5 = 900$。
综上，（1）该单位去该风景区旅游的人数超过$25$人；（2）该单位这次共有$30$名员工去该风景区旅游。

5. 端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元.
小李：当售价为每千克38元时,每天可售出160千克；若售价每千克每降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,若超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的售价为每千克29元.

答案： 1. 首先，设这种水果的售价为每千克$x$元：
则每千克的利润为$(x - 22)$元。
当售价为$38$元时，售价降低了$(38 - x)$元。
因为售价每千克每降低$3$元，每天的销售量将增加$120$千克，所以销售量增加$\frac{38 - x}{3}×120$千克，那么每天的销售量为$160+\frac{38 - x}{3}×120$千克。
2. 然后，根据“利润$=$每千克利润$×$销售量”列方程：
已知利润为$3640$元，可列方程$(x - 22)(160+\frac{38 - x}{3}×120)=3640$。
先化简方程中的$160+\frac{38 - x}{3}×120$：
$160+\frac{38 - x}{3}×120=160 + 40×(38 - x)=160+1520 - 40x=1680 - 40x$。
则原方程变为$(x - 22)(1680 - 40x)=3640$。
展开括号得$1680x-40x^{2}-36960 + 880x = 3640$。
整理得$-40x^{2}+1680x + 880x-36960 - 3640 = 0$，即$-40x^{2}+2560x-40600 = 0$。
两边同时除以$-40$得$x^{2}-64x + 1015 = 0$。
3. 接着，求解一元二次方程$x^{2}-64x + 1015 = 0$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-64$，$c = 1015$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(-64)^{2}-4×1×1015=4096 - 4060 = 36$。
则$x=\frac{64\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{64\pm6}{2}$。
当$x=\frac{64 + 6}{2}$时，$x_{1}=\frac{70}{2}=35$；当$x=\frac{64 - 6}{2}$时，$x_{2}=\frac{58}{2}=29$。
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以比较$29$和$35$的大小，$29\lt35$，所以$x = 29$。
故这种水果的售价为每千克$29$元。

6. (2024泰州期末)某品牌纪念品每套成本为30元,当每套售价为40元时,平均每天的销售量为500套,经试销统计发现,如果该品牌纪念品每套售价上涨1元,那么平均每天的销售量将减少10套.为了维护消费者利益,物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%,设这种纪念品每套上涨x元.
(1)平均每天的销售量为(500 - 10x)套(用含x的代数式表示)；
(2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元,求每套纪念品应定价多少元.
50元

答案： 1. （1）
已知每套售价上涨$x$元时，平均每天的销售量将减少$10x$套，原本平均每天销售量为$500$套。
所以平均每天的销售量为$(500 - 10x)$套。
2. （2）
解：
每套纪念品的售价为$(40 + x)$元，每套成本为$30$元，根据“利润$=$（售价$-$成本）$×$销售量”，可列方程$(40 + x−30)(500 - 10x)=8000$。
化简方程：
先将$(40 + x−30)(500 - 10x)=8000$变形为$(x + 10)(500 - 10x)=8000$。
展开括号得$500x-10x^{2}+5000 - 100x = 8000$。
移项合并同类项得$-10x^{2}+400x - 3000 = 0$。
两边同时除以$-10$得$x^{2}-40x + 300 = 0$。
因式分解求解：
对$x^{2}-40x + 300 = 0$进行因式分解，$x^{2}-40x + 300=(x - 10)(x - 30)=0$。
则$x - 10 = 0$或$x - 30 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=30$。
考虑售价限制：
因为售价不能超过进价的$200\%$，进价为$30$元，所以$40 + x\leqslant30×200\%$，即$40 + x\leqslant60$，解得$x\leqslant20$。
所以$x = 30$不合题意，舍去，取$x = 10$。
计算定价：
当$x = 10$时，每套纪念品的定价为$40 + 10=50$元。
综上，（1）$500 - 10x$；（2）每套纪念品应定价$50$元。