《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

8. 如图2-5-25,$\odot O$是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是$\overset{\frown }{DF}$上一点,则$∠EPF$的度数是____60°.

答案： 60°

9. (2023南京期中)如图2-5-26,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 70^{\circ }$,$\triangle ABC的内切圆\odot O$与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则$∠AFD$的度数为____35°.

答案： 35°

10. 如图2-5-27,AB为$\odot O$的直径,$\triangle ABC内接于\odot O$,$BC＞AC$,点P是$\triangle ABC$的内心,连接CP并延长交$\odot O$于点D,交AB于点E,连接BP,BD.
(1)求证：$BD= DP$；
(2)已知$\odot O的半径是3\sqrt {2}$,$CD= 8$,求BC的长.4$\sqrt{2}$+2

答案：
(1)证明:
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵点 P 是△ABC 的内心,
∴∠ACD = ∠BCP = 45°,∠CBP = ∠EBP,
∴∠ABD = ∠ACD = 45°.
∵∠DPB = ∠BCP + ∠CBP = 45° + ∠CBP,∠DBP = ∠ABD + ∠EBP = 45° + ∠EBP,
∴∠DPB = ∠DBP,
∴BD = DP.
(2)4$\sqrt{2}$+2

11. 如图2-5-28,在$\triangle ABC$中,AD是边BC上的中线,$∠BAD= ∠CAD$,$CE// AD$,CE交BA的延长线于点E,$BC= 8$,$AD= 3$.
(1)求CE的长；
(2)求证：$\triangle ABC$为等腰三角形；
(3)求$\triangle ABC$的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.

答案：
解:
(1)
∵AD 是边 BC 上的中线,
∴BD = CD.
又
∵CE // AD,
∴AD 为△BCE 的中位线.
∴CE = 2AD = 6.
(2)证明:由
(1)知 BA = AE.
∵CE // AD,
∴∠CAD = ∠ACE,∠BAD = ∠E.
又
∵∠BAD = ∠CAD,
∴∠ACE = ∠E.
∴AC = AE.则 BA = CA.
∴△ABC 为等腰三角形.
(3)如图,连接 BP,BQ,CQ.

由题意,得 BD = DC = $\frac{1}{2}$BC = 4,AD ⊥ BC,点 A,Q,D,P 在同一条直线上.
在 Rt△ABD 中,AB = $\sqrt{AD^{2} + BD^{2}}$ = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5.
设⊙P 的半径为 R,⊙Q 的半径为 r.
在 Rt△PBD 中,PD² + BD² = BP²,
即 (R - 3)² + 4² = R²,解得 R = $\frac{25}{6}$.
∴PD = PA - AD = $\frac{25}{6}$ - 3 = $\frac{7}{6}$.
∵S△ABQ + S△BCQ + S△ACQ = S△ABC,
∴$\frac{1}{2}$ × 5r + $\frac{1}{2}$ × 8r + $\frac{1}{2}$ × 5r = $\frac{1}{2}$ × 3 × 8,
解得 r = $\frac{4}{3}$,即 QD = $\frac{4}{3}$.
∴PQ = PD + QD = $\frac{7}{6}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{5}{2}$.
故△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 $\frac{5}{2}$.