《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

11. (2024盐城月考)在半径为1的$\odot O$中,弦AB的长为1,则弦AB所对弧的度数为$60^{\circ},300^{\circ}$.

答案： $60^{\circ},300^{\circ}$

12. 如图2-2-8,以$□ ABCD$的顶点A为圆心,AB为半径作$\odot A$,分别交BC,AD于点E,F,交BA的延长线于点G,连接EG.
(1)求证：$\overset{\frown}{EF}= \overset{\frown}{FG}$；
(2)若$\overset{\frown}{EG}的度数为140^{\circ}$,求$∠EGB$的度数.

答案：
解:
(1)证明:如图,连接AE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD$//$BC.
∴$\angle EAF=\angle AEB,\angle GAF=\angle B$.
∵AE=AB,
∴$\angle B=\angle AEB$.
∴$\angle EAF=\angle GAF$.
∴$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$.

(2)
∵$\overset{\frown}{EG}$的度数为$140^{\circ}$,
∴$\angle GAE=140^{\circ}$.
∵GA=EA,
∴$\angle EGB=20^{\circ}$.

13. 如图2-2-9,$\overset{\frown}{PA}= \overset{\frown}{PB}$,C,D分别是半径OA,OB的中点,连接PC,PD交弦AB于E,F两点.
求证：(1)$PC= PD$；
(2)$PE= PF$.
证明:(1)连接PO.
∵$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$,∴$\angle POC=\angle POD$.
∵C,D分别是半径OA,OB的中点,
∴OC=OD.
又∵PO=PO,∴$\triangle PCO\cong\triangle PDO$.
∴PC=PD.
(2)∵$\triangle PCO\cong\triangle PDO$,
∴$\angle PCO=\angle PDO$.
∵OA=OB,∴$\angle A=\angle B$.
∴$\angle AEC=\angle BFD$.
又∵$\angle AEC=\angle PEF,\angle BFD=\angle PFE$,
∴$\angle PEF=\angle PFE$.∴PE=PF.

答案： 证明:
(1)连接PO.
∵$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$,
∴$\angle POC=\angle POD$.
∵C,D分别是半径OA,OB的中点,
∴OC=OD.
又
∵PO=PO,
∴$\triangle PCO\cong\triangle PDO$.
∴PC=PD.
(2)
∵$\triangle PCO\cong\triangle PDO$,
∴$\angle PCO=\angle PDO$.
∵OA=OB,
∴$\angle A=\angle B$.
∴$\angle AEC=\angle BFD$.
又
∵$\angle AEC=\angle PEF,\angle BFD=\angle PFE$,
∴$\angle PEF=\angle PFE$.
∴PE=PF.

14. 如图2-2-10,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,D,E分别是OA,OB上的点,且$AD= BE$,弦CM,CN分别过点D,E.
(1)求证：$CD= CE$；
证明:连接OC.
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.
∴$\angle COD=\angle COE$.
∵OA=OB,AD=BE,∴OD=OE.
在$\triangle COD$和$\triangle COE$中,
$\begin{cases}OD=OE,\\\angle COD=\angle COE,\\OC=OC,\end{cases}$
∴$\triangle COD\cong\triangle COE(SAS)$.
∴CD=CE.
(2)$\overset{\frown}{AM}与\overset{\frown}{BN}$的大小有何关系？为什么？
$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.理由如下:连接OM,ON.
由(1)知$\triangle COD\cong\triangle COE$,
∴$\angle CDO=\angle CEO,\angle OCD=\angle OCE$.
∵OC=OM=ON,
∴$\angle OCM=\angle OMC,\angle OCN=\angle ONC$.
∴$\angle OMD=\angle ONE$.
又∵$\angle CDO=\angle OMD+\angle MOD,\angle CEO=\angle ONE+\angle EON,\angle CDO=\angle CEO$,
∴$\angle MOD=\angle EON$.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.

答案： 解:
(1)证明:连接OC.
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.
∴$\angle COD=\angle COE$.
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE.
在$\triangle COD$和$\triangle COE$中,
$\begin{cases}OD=OE,\\\angle COD=\angle COE,\\OC=OC,\end{cases}$
∴$\triangle COD\cong\triangle COE(SAS)$.
∴CD=CE.
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.理由如下:连接OM,ON.
由
(1)知$\triangle COD\cong\triangle COE$,
∴$\angle CDO=\angle CEO,\angle OCD=\angle OCE$.
∵OC=OM=ON,
∴$\angle OCM=\angle OMC,\angle OCN=\angle ONC$.
∴$\angle OMD=\angle ONE$.
又
∵$\angle CDO=\angle OMD+\angle MOD,\angle CEO=\angle ONE+\angle EON,\angle CDO=\angle CEO$,
∴$\angle MOD=\angle EON$.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.