《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

(2024 泰州模拟)学习下面方框内的内容,并解答下列问题:
小明在反思学习时,发现解决下列 3 个问题时都用到了同一种数学思想方法:
问题 1:若 $ a - 2b = 3 $,求 $ 2a - 4b + 1 $ 的值.
解决思路:$ 2a - 4b + 1 = 2(a - 2b) + 1 = 2 × 3 + 1 = 7 $.
问题 2:如图 ZH - 2 - 1,分别以 $ \triangle ABC $ 的 3 个顶点为圆心,2 为半径画圆,求图中 3 块阴影面积之和.
解决思路:将 3 块阴影扇形拼成一个半径为 2 的半圆,则阴影面积为 $ 2\pi $.
问题 3:已知 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 3ab ( a ＞ b ＞ 0 ) $,求 $ \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a b } $ 的值.
解题思路:对已知条件进行恒等变形,$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2ab = 5ab $,则 $ ( a + b ) ^ { 2 } = 5ab $.
因为 $ a ＞ b ＞ 0 $,所以 $ a + b = \sqrt { 5ab } $,类似可以得到 $ a - b =… $.
(1)方框内 3 个问题的解决都用到了C的数学思想方法(从下列选项中选一个);
A. 分类讨论 B. 数形结合 C. 整体 D. 从特殊到一般
(2)方框内问题 3 中 $ \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a b } $ 的值为$\sqrt{5}$;
(3)如图 ZH - 2 - 2,已知 $ \odot O $ 的半径为 5, $ AB $, $ CD $ 是 $ \odot O $ 的弦,且 $ AB = 8 $, $ CD = 6 $,求 $ \overparen { A B } $ 与 $ \overparen { C D } $ 的长度之和.
$5\pi$

答案：
(1)C
(2)$\sqrt{5}$
(3)$5\pi$