《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

10. 用配方法解下列方程:
(1)$x^{2}+2= 2\sqrt {3}x$;$x_1 = \sqrt{3} + 1$，$x_2 = \sqrt{3} - 1$
(2)$(x+1)^{2}-10(x+1)+9= 0$.$x_1 = 8$，$x_2 = 0$

答案：
(1)$x_1 = \sqrt{3} + 1$，$x_2 = \sqrt{3} - 1$
(2)$x_1 = 8$，$x_2 = 0$

11. 已知当$x= 2$时,二次三项式$x^{2}-2mx+8$的值等于4,那么当x为何值时,这个二次三项式的值是9?

答案： 解：把$x = 2$代入$x^2 - 2mx + 8 = 4$，得
$4 - 4m + 8 = 4$，解得$m = 2$。
把$m = 2$代入$x^2 - 2mx + 8 = 9$，得
$x^2 - 4x + 8 = 9$，即$x^2 - 4x = 1$。
配方，得$(x - 2)^2 = 5$。
$\therefore x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$。
故当$x$的值为$2 + \sqrt{5}$或$2 - \sqrt{5}$时，这个二次三项式的值是 9。

12. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.
例如:分解因式:$x^{2}+2x-3= (x^{2}+2x+1)-4= (x+1)^{2}-4= (x+1+2)(x+1-2)= (x+3)(x-1)$.
例如:求代数式$x^{2}+6x+5$的最小值.
解:$\because x^{2}+6x+5= x^{2}+2×(3x)+3^{2}-3^{2}+5= (x+3)^{2}-4$,且$(x+3)^{2}≥0$,
$\therefore当x= -3$时,$x^{2}+6x+5$有最小值-4.
根据上述材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:$n^{2}-4n-5=$$(n + 1)(n - 5)$;
(2)当$x=$$\frac{3}{2}$时,$x^{2}-3x+\frac {19}{4}$有最小值,最小值为$\frac{5}{2}$;
(3)求证:不论m为何值,关于x的方程$(m^{2}+2m+2)x^{2}-(4m-1)x-7= 0$总为一元二次方程.

答案： 解：
(1)$(n + 1)(n - 5)$
(2)$\frac{3}{2}$ $\frac{5}{2}$
(3)证明：$\because m^2 + 2m + 2 = (m + 1)^2 + 1$，
$\therefore m^2 + 2m + 2 \geq 1$。
故不论$m$为何值，关于$x$的方程$(m^2 + 2m + 2)x^2 - (4m - 1)x - 7 = 0$总为一元二次方程。