《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

1. 下列方程中,一定是一元二次方程的是(D)
A. $ x - \frac { 1 } { x } + 2 = 0 $
B. $ x ^ { 2 } + 2 x + y = 0 $
C. $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $
D. $ x ^ { 2 } - x + 1 = 0 $

答案： D

2. 某校九年级(3)班学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了 3782 张相片.若全班有 $ x $ 名学生,根据题意,列出方程为(A)
A. $ x ( x - 1 ) = 3782 $
B. $ \frac { x ( x - 1 ) } { 2 } = 3782 $
C. $ 2 x ( x - 1 ) = 3782 $
D. $ x ( x + 1 ) = 3782 $

答案： A

3. 在方程 $ 2 ( x ^ { 2 } - 1 ) + 1 = 3 x ( x - 1 ) $ 中,二次项系数、一次项系数和常数项分别可以是(A)
A. $ 1, - 3, 1 $
B. $ - 1, - 3, 1 $
C. $ - 3, 3, - 1 $
D. $ 1, 3, - 1 $

答案： A

4. 若关于 $ x $ 的方程 $ ( a - 1 ) x ^ { 2 } = 2 $ 为一元二次方程,则 $ a $ 满足的条件是$ a \neq 1 $.

答案： $ a \neq 1 $

5. 一个两位数等于它的十位上的数字和个位上的数字的积的 3 倍,十位上的数字比个位上的数字小 2,设个位上的数字为 $ x $.根据题意,可以列出方程：$ 10 ( x - 2 ) + x = 3 x ( x - 2 ) $.

答案： $ 10 ( x - 2 ) + x = 3 x ( x - 2 ) $

6. 一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 1 = 4 x $ 化成一般形式后,常数项是 $ - 1 $,则一次项系数是(D)
A. 2
B. $ - 2 $
C. 4
D. $ - 4 $

答案： D

7. 关于 $ x $ 的方程 $ m x ^ { 2 } - 3 x = 2 x ^ { 2 } + x - 1 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 应满足的条件是(C)
A. $ m \neq 0 $
B. $ m \neq - 2 $
C. $ m \neq 2 $
D. $ m = 2 $

答案： C

8. 若方程 $ ( k - 3 ) x ^ { k - 2 } + x ^ { 2 } + k x + 1 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程,则 $ k $ 的值为4 或 3 或 2.

答案： 4 或 3 或 2

9. 根据下列问题列一元二次方程,并将所列方程化成一般形式：
(1)小明用 30 cm 的铁丝围成一个斜边长为 13 cm 的直角三角形,求该直角三角形的两直角边长；
(2)为响应“足球进校园”的号召,某校组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两个队之间都要比赛一场),计划安排 28 场比赛,求参赛的足球队个数.

答案： 解：
(1)设一条直角边长为 $ x \mathrm { cm } $，则另一直角边长为 $ ( 30 - 13 - x ) \mathrm { cm } $。
根据题意可得 $ x ^ { 2 } + ( 30 - 13 - x ) ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } $
化为一般形式为 $ x ^ { 2 } - 17 x + 60 = 0 $（化一般形式不唯一）。
(2)设参赛的足球队有 $ x $ 个。
根据题意可得 $ \frac { 1 } { 2 } x ( x - 1 ) = 28 $，
化为一般形式为 $ x ^ { 2 } - x - 56 = 0 $（化为一般形式不唯一）。

10. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$ 3 x ^ { 2 } - 1 = 2 x $；
一般形式：$3x^{2}-2x-1=0$，二次项系数：3，一次项系数：-2，常数项：-1
(2)$ x ( x - 2 ) = 4 x ^ { 2 } - 3 x $；
一般形式：$3x^{2}-x=0$，二次项系数：3，一次项系数：-1，常数项：0
(3)关于 $ x $ 的方程 $ m x ^ { 2 } - n x + m x + n x ^ { 2 } = q - p ( m + n \neq 0 ) $.
一般形式：$(m+n)x^{2}+(m-n)x+p-q=0$，二次项系数：$m+n$，一次项系数：$m-n$，常数项：$p-q$

答案： 解：(答案不唯一)
(1)$ 3 x ^ { 2 } - 1 = 2 x $，
移项，得 $ 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $。
二次项系数为 3，一次项系数为 -2，常数项为 -1。
(2)$ x ( x - 2 ) = 4 x ^ { 2 } - 3 x $，
去括号，得 $ x ^ { 2 } - 2 x = 4 x ^ { 2 } - 3 x $，
移项、合并同类项，得 $ - 3 x ^ { 2 } + x = 0 $，
整理，得 $ 3 x ^ { 2 } - x = 0 $。
二次项系数为 3，一次项系数为 -1，常数项为 0。
(3)$ m x ^ { 2 } - n x + m x + n x ^ { 2 } = q - p ( m + n \neq 0 ) $，
移项、合并同类项，得 $ ( m + n ) x ^ { 2 } + ( m - n ) x + p - q = 0 $。
二次项系数为 $ ( m + n ) $，一次项系数为 $ ( m - n ) $，常数项为 $ ( p - q ) $。