《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

10. (2024 北京期末)关于x的一元二次方程$x^{2}-(k+4)x+2k+4= 0.$
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.

答案： 1. （1）证明：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(k + 4)x+2k + 4 = 0$中，$a = 1$，$b=-(k + 4)$，$c = 2k + 4$。
则$\Delta=[-(k + 4)]^{2}-4(2k + 4)$
展开式子：$\Delta=k^{2}+8k + 16-8k-16$。
化简得：$\Delta=k^{2}$。
因为$k^{2}\geqslant0$（任何实数的平方都大于等于$0$），所以方程总有两个实数根。
2. （2）解：
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，对于方程$x^{2}-(k + 4)x+2k + 4 = 0$，$x=\frac{(k + 4)\pm\sqrt{k^{2}}}{2}$。
即$x=\frac{(k + 4)\pm k}{2}$。
当取“$+$”时：$x_{1}=\frac{(k + 4)+k}{2}=\frac{2k + 4}{2}=k + 2$；当取“$-$”时：$x_{2}=\frac{(k + 4)-k}{2}=2$。
因为方程有一个根小于$1$，而$x_{2}=2$，所以$x_{1}=k + 2\lt1$。
解不等式$k+2\lt1$，移项得$k\lt1 - 2$。
所以$k$的取值范围是$k\lt - 1$。

11. 已知关于x的方程$(m-1)x^{2}-mx+1= 0.$
(1)求证:不论m为何值,方程总有实数根;
(2)若m为整数,当m为何值时,方程有两个不相等的整数根?

答案： 解:
(1)证明:当$m-1=0$,即$m=1$时,方程变形为$-x+1=0$,解得$x=1;$
当$m-1≠0$,即$m≠1$时,该方程为一元二次方程,$b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4(m-1)=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}≥0$,此时方程有实数根.
∴不论m为何值,方程总有实数根.
(2)由题意,知$m≠1.$
解方程,得$x=\frac {m\pm (m-2)}{2(m-1)},$
则$x_{1}=1,x_{2}=\frac {1}{m-1}.$
当$m-1=-1$时,方程有两个不相等的整数根,此时$m=0.$

12. 已知关于x的一元二次方程$(m-3)x^{2}-6x+8= 0.$
(1)若方程的一个根为-1,求m的值;
(2)若方程有实数根,求满足条件的正整数m的值;
(3)请为m选取一个合适的整数,使方程有两个整数根,并求这两个根.

答案： 解:
(1)
∵方程$(m-3)x^{2}-6x+8=0$的一个根为-1,
$\therefore m-3+6+8=0$,解得$m=-11.$
(2)
∵关于x的一元二次方程$(m-3)x^{2}-6x+8=0$有实数根,
$\therefore b^{2}-4ac=36-32(m-3)≥0$,且$m≠3,$
解得$m≤\frac {33}{8}$,且$m≠3.$
∵m是正整数,
∴满足条件的m的值为1或2或4.
(3)答案不唯一.当$m=4$时,方程为$x^{2}-6x+8=0,\therefore (x-3)^{2}=1.$
$\therefore x-3=-1$或$x-3=1.$
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=4.$

13. (2024 宁波期末)如果m,n是正实数,方程$x^{2}+mx+4n= 0和方程x^{2}+4nx+m= 0$都有实数解,求$m+n$的最小值.5

答案： 5