《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+x + n = 0 $ 的两个实数根分别为 -2,$ m $,求 $ m,n $ 的值.

答案： $ m,n $ 的值分别是 1,-2

14. (2024 泰州期末)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}+1 = 0 $.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求 $ k $ 的取值范围;
(2)如果方程的两根之和等于两根之积,求 $ k $ 的值.

答案： 解:
(1) $ \because $ 方程有两个不相等的实数根,
$ \therefore b^{2}-4ac=(2k - 1)^{2}-4(k^{2}+1)＞0 $,
解得 $ k＜-\frac{3}{4} $,
$ \therefore k $ 的取值范围是 $ k＜-\frac{3}{4} $.
(2) 由题可知该方程的两根之和为 $ -2k + 1 $, 两根之积为 $ k^{2}+1 $.
$ \because $ 方程的两根之和等于两根之积,
$ \therefore -2k + 1 = k^{2}+1 $,
解得 $ k_{1}=0,k_{2}=-2 $.
易知当 $ k\leqslant -\frac{3}{4} $ 时方程有实数根,
$ \therefore k = 0 $ 不符合题意,舍去,
$ \therefore k=-2 $.

15. (2023 通辽改编)阅读材料:已知一元二次方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ m,n $,求 $ m^{2}n + mn^{2} $ 的值.
解: $ \because m,n $ 是一元二次方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两个实数根,$ \therefore m + n = 1,mn = -1 $.
则 $ m^{2}n + mn^{2}= mn(m + n)= -1×1 = -1 $.
根据上述材料,结合你所学的知识,回答下列问题:
(1)类比:已知一元二次方程 $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ m,n $,求 $ m^{2}+n^{2} $ 的值;
解: $ \because $ 一元二次方程 $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ m,n $,
$ \therefore m + n = -\frac{3}{2},mn = -\frac{1}{2} $,
$ \therefore m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn= $$\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$.
(2)提升:已知实数 $ s,t $ 满足 $ 2s^{2}+3s - 1 = 0 $, $ 2t^{2}+3t - 1 = 0 $,且 $ s≠t $,求 $ \frac{1}{s}-\frac{1}{t} $ 的值.
解: $ \because $ 实数 $ s,t $ 满足 $ 2s^{2}+3s - 1 = 0 $, $ 2t^{2}+3t - 1 = 0 $,且 $ s≠t $,
$ \therefore s,t $ 是一元二次方程 $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $ 的两个实数根,
$ \therefore s + t = -\frac{3}{2},st = -\frac{1}{2} $,
$ \therefore (t - s)^{2}=(t + s)^{2}-4st=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4×\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4} $,
$ \therefore t - s = ±\frac{\sqrt{17}}{2} $,
$ \therefore \frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=\frac{±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}= $$±\sqrt{17}$.

答案： 解:
(1) $ \because $ 一元二次方程 $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ m,n $,
$ \therefore m + n = -\frac{3}{2},mn = -\frac{1}{2} $,
$ \therefore m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4} $.
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