《2025年全品学练考九年级数学上册苏科版江苏专版》

10. 已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+a^{2}+1= 0$.
(1)若方程的一个根是1,求实数a的值；-2
(2)当$a= -2$时,用配方法解方程.$x_{1}=1,x_{2}=-\frac {5}{3}$

答案： 解:
(1)将$x=1$代入原方程可得$a-1-2+a^{2}+1=0,$
解得$a=1$或$a=-2.$
$\because a-1≠0,$
$\therefore a=-2.$
(2)将$a=-2$代入方程可得$-3x^{2}-2x+5=0,$
$\therefore x^{2}+\frac {2}{3}x=\frac {5}{3}.$
$\therefore (x+\frac {1}{3})^{2}=\frac {16}{9}.$
开平方,得$x+\frac {1}{3}=\pm \frac {4}{3}.$
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-\frac {5}{3}.$

11. 关于用配方法解一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0,b^{2}-4ac≥0)$,小明提出一种方法：
$\because ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,
$\therefore 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac= 0$,
$\therefore 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}= b^{2}-4ac$,
…
(1)请你把小明的过程补充完整；
$\therefore (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac$.$\because b^{2}-4ac≥0$,$\therefore 2ax+b=\pm \sqrt {b^{2}-4ac}$,$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$.
(2)请用上述方法解方程：$3x^{2}-4x-1= 0$.
$\because 3x^{2}-4x-1=0$,$\therefore 36x^{2}-48x-12=0$,$\therefore 36x^{2}-48x+16=16+12$,$\therefore (6x-4)^{2}=28$,$\therefore 6x-4=\pm 2\sqrt {7}$,解得$x=\frac {2\pm \sqrt {7}}{3}$,即$x_{1}=\frac {2+\sqrt {7}}{3}$,$x_{2}=\frac {2-\sqrt {7}}{3}$.

答案： 解:
(1)$\because ax^{2}+bx+c=0(a≠0),$
$\therefore 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0,$
$\therefore 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac,$
$\therefore (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac.$
$\because b^{2}-4ac≥0,$
$\therefore 2ax+b=\pm \sqrt {b^{2}-4ac},$
$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}.$
(2)$\because 3x^{2}-4x-1=0,$
$\therefore 36x^{2}-48x-12=0,$
$\therefore 36x^{2}-48x+16=16+12,$
$\therefore (6x-4)^{2}=28,\therefore 6x-4=\pm 2\sqrt {7},$
解得$x=\frac {2\pm \sqrt {7}}{3},$
即$x_{1}=\frac {2+\sqrt {7}}{3},x_{2}=\frac {2-\sqrt {7}}{3}.$

1. (2023 无锡梁溪区期中)在求解代数式 $ 2a^{2}-12a + 22 $ 的最值(最大值或最小值)时,老师给出以下解法:
解:原式 $ = 2(a^{2}-6a)+22 = 2(a^{2}-6a + 9)-18 + 22 = 2(a - 3)^{2}+4 $.
∵无论 $ a $ 取何值,$ 2(a - 3)^{2}\geq0 $,
∴代数式 $ 2(a - 3)^{2}+4\geq4 $,
即当 $ a = 3 $ 时,代数式 $ 2a^{2}-12a + 22 $ 有最小值,为 4.
仿照上述思路,则代数式 $ -3a^{2}+6a - 8 $ 的最大值为-5.

答案： $-5$

2. (2023 连云港)若 $ W = 5x^{2}-4xy + y^{2}-2y + 8x + 3 $($ x,y $ 为实数),则 $ W $ 的最小值为-2.

答案： 1. 首先对$W = 5x^{2}-4xy + y^{2}-2y + 8x + 3$进行变形：
$W=(4x^{2}-4xy + y^{2})+(x^{2}+8x + 16)-16 - 2y+3$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$和$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$W=(2x - y)^{2}+(x + 4)^{2}-13 - 2y$。
进一步变形为$W=(2x - y)^{2}+(x + 4)^{2}-2y-13$。
再将$y$进行配方，$W=(2x - y)^{2}+(x + 4)^{2}-2(y + 1)-11$。
另一种配方方法：
$W = 5x^{2}+(8 - 4y)x+(y^{2}-2y + 3)$。
对于关于$x$的一元二次函数$ax^{2}+bx + c(a\neq0)$（这里$a = 5$，$b = 8 - 4y$，$c=y^{2}-2y + 3$），根据一元二次函数的性质$ax^{2}+bx + c=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
则$W = 5(x+\frac{8 - 4y}{10})^{2}+\frac{4×5×(y^{2}-2y + 3)-(8 - 4y)^{2}}{4×5}$。
先化简$\frac{4×5×(y^{2}-2y + 3)-(8 - 4y)^{2}}{4×5}$：
展开式子：
$4×5×(y^{2}-2y + 3)=20y^{2}-40y + 60$，$(8 - 4y)^{2}=64-64y + 16y^{2}$。
则$20y^{2}-40y + 60-(64-64y + 16y^{2})=20y^{2}-40y + 60 - 64 + 64y-16y^{2}$。
合并同类项得$(20y^{2}-16y^{2})+(64y - 40y)+(60 - 64)=4y^{2}+24y - 4$。
所以$W = 5(x+\frac{2y - 4}{5})^{2}+\frac{4y^{2}+24y - 4}{20}$。
再对$\frac{4y^{2}+24y - 4}{20}$进行配方：
$\frac{4y^{2}+24y - 4}{20}=\frac{4(y^{2}+6y)-4}{20}=\frac{4(y^{2}+6y + 9-9)-4}{20}$。
$=\frac{4((y + 3)^{2}-9)-4}{20}=\frac{4(y + 3)^{2}-36 - 4}{20}=\frac{4(y + 3)^{2}-40}{20}=\frac{1}{5}(y + 3)^{2}-2$。
2. 然后分析最小值：
因为$(2x - y)^{2}\geqslant0$，$(x + 4)^{2}\geqslant0$，$(y + 3)^{2}\geqslant0$。
当$2x - y = 0$，$x+4 = 0$，$y + 3 = 0$时：
由$x+4 = 0$得$x=-4$，把$x = - 4$代入$2x - y = 0$，则$y=-8$（这里用配方$W=\frac{1}{5}(y + 3)^{2}-2$更简单，因为对于$W=\frac{1}{5}(y + 3)^{2}-2$，当$y=-3$时）。
对于$W=\frac{1}{5}(y + 3)^{2}-2$，因为$\frac{1}{5}(y + 3)^{2}\geqslant0$，当$y=-3$时，$\frac{1}{5}(y + 3)^{2}=0$。
所以$W$的最小值为$-2$。

3. (2023 海门二模改编)若实数 $ a,b,c $ 满足 $ a - b^{2}-2 = 0,2a^{2}-4b^{2}-c = 0 $,则 $ c $ 的最小值是____8.

答案： $8$