《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

23. 如图,点$B$在线段$AC$上,点$D,E$在$AC$的同侧,$\angle A = \angle C = 90^{\circ},BD\perp BE,AD = BC$.
(1)求证:$AC = AD + CE$;
(2)若$AD = 3,AB = 5$,点$P$为线段$AB$上的动点,连接$DP$,作$PQ\perp DP$,交直线$BE$于点$Q$,当点$P$与$A,B$两点不重合时,求$\frac{DP}{PQ}$的值.

答案：
(1)证明：
∵BD⊥BE，
∴∠ABD + ∠CBE = 90°.
∵∠A = ∠C = 90°，
∴∠CBE + ∠E = 90°，
∴∠ABD = ∠E.
又
∵AD = BC，
∴△DAB≌△BCE，
∴AB = CE，
∴AC = AB + BC = AD + CE.
(2)解：连接DQ，设BD与PQ交于点F.
∵∠DPF = ∠QBF = 90°，∠DFP = ∠QFB，
∴△DFP∽△QFB，
∴$\frac{DF}{QF}=\frac{PF}{BF}$.
又
∵∠DFQ = ∠PFB，
∴△DFQ∽△PFB，
∴∠DQP = ∠DBA，
∴tan∠DQP = tan∠DBA.
∵tan∠DQP = $\frac{DP}{PQ}$，tan∠DBA = $\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DP}{PQ}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$.

24. 已知$Rt\triangle ABC$的斜边$AB$在平面直角坐标系的$x$轴上,点$C(2,6)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上,且$\sin\angle BAC = \frac{3}{5}$.
(1)求$k$的值和边$AC$的长;
(2)求点$B$的坐标.

答案：
解：
(1)将点C(2，6)代入$y = \frac{k}{x}$得，
6 = $\frac{k}{2}$，解得k = 12.
∵sin∠BAC = $\frac{3}{5}$，
∴sin∠BAC = $\frac{6}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴AC = 10.
(2)①当点B在点A右边时，如图1，

过点C作CD⊥x轴于D.
由题可知，AC = 10，CD = 6，OD = 2，
∴AD = 8，
∴AO = 6，
∴cos∠BAC = $\frac{AD}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.
在Rt△ABC中，cos∠BAC = $\frac{AC}{AB}$，
∴AB = $\frac{AC}{cos∠BAC}=\frac{10}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{2}$，
∴OB = AB－AO = $\frac{25}{2}-6=\frac{13}{2}$，
∴点B的坐标为($\frac{13}{2}$，0)；
②当点B在点A左边时，如图2，

由①可知，AD = 8，AB = $\frac{25}{2}$，
∴BO = AB－AD－OD = $\frac{25}{2}-8 - 2=\frac{5}{2}$，
∴点B的坐标为(－$\frac{5}{2}$，0).
综上，点B的坐标为(－$\frac{5}{2}$，0)或($\frac{13}{2}$，0).