《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

15.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)已知AD=2,BD=4,求CD的长.

答案： （1）证明：
∵∠ACB = 90°，CD⊥AB，
∴∠CDA = ∠CDB = ∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠ACD = 90°，
∠ACD + ∠BCD = 90°，
∴∠A = ∠BCD，
∴△ACD∽△CBD.
（2）解：由（1）知△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴$CD^{2}=AD\cdot BD = 2×4 = 8$，
∴CD = 2$\sqrt{2}$.

16.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE.
(1)求证:∠CBE=36°;
(2)求证:AE² = AC·EC.

答案： 证明：（1）
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA = EB，
∴∠EBA = ∠A = 36°.
∵AB = AC，∠A = 36°，
∴∠ABC = ∠C = 72°，
∴∠CBE = ∠ABC - ∠EBA = 36°.
（2）由（1）知，∠C = 72°，∠CBE = 36°，
∴∠BEC = ∠C = 72°，
∴BC = BE = AE.
∵∠CBE = ∠A，∠C = ∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{EC}$，即$BC^{2}=AC\cdot EC$.
又
∵BC = AE，
∴$AE^{2}=AC\cdot EC$.

17.(8分)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形.
(1)在图2的网格中画一个与图1中的△ABC相似的△DEF;
(2)在图3中,以O为位似中心,画一个△A₁B₁C₁,使它与△ABC的相似比为2:1.

答案：
解：（1）如图1所示，△DFE即为所求.
（2）如图2所示，△A₁B₁C₁即为所求.