《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

21. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是$\odot O$的切线,点$C$在$AB$的延长线上.
(1)求证:$\triangle CAD\sim\triangle CDB$；
(2)若$\angle C = 30^{\circ},AC = 9$,求$\triangle DBC$的面积.
　　　

答案：

(1)证明：如图，连接$OD$，
∵$OB = OD$，
∴$\angle ODB=\angle ABD$。
∵$CD$是$\odot O$的切线，
∴$\angle ODC = 90^{\circ}$，
∴$\angle ODB+\angle CDB = 90^{\circ}$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$\angle ADB = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABD+\angle CAD = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAD=\angle CDB$。
又$\angle C=\angle C$，
∴$\triangle CAD\sim\triangle CDB$。

(2)解：
∵$\angle ODC = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，
∴$OC = 2OD$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AC = 9$，
∴$OA = OB = OD = BC=\frac{1}{3}AC = 3$。
由
(1)知，$\triangle CAD\sim\triangle CDB$，
∴$CD:CB = CA:CD$，
∴$CD^2 = CB\cdot CA = 3\times9 = 27$，
∴$CD = 3\sqrt{3}$，
∴$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}OD\cdot CD=\frac{1}{2}\times3\times3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。
又$BC = OB$，
∴$S_{\triangle DBC}=\frac{1}{2}S_{\triangle OCD}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。

22. 如图,点$C$的坐标为$(-6,0)$,点$A$在$y$轴正半轴上,$AC = 10,CB\perp CA$,且$CB=\frac{1}{2}CA$.反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点$B$.
(1)求点$A$的坐标；
(2)求反比例函数的解析式.
　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵点$C$的坐标为$(-6,0)$，
∴$OC = 6$，
∵$AC = 10$，
∴$AO=\sqrt{AC^{2}-OC^{2}} = 8$，
∴点$A$的坐标是$(0,8)$。
(2)如图，作$BH\perp x$轴于点$H$，
则$\angle BHC=\angle COA = 90^{\circ}$，
∴$\angle BCH+\angle HBC = 90^{\circ}$。
∵$CB\perp CA$，
∴$\angle BCA = 90^{\circ}$，
∴$\angle BCH+\angle ACO = 90^{\circ}$，
∴$\angle HBC=\angle ACO$，
∴$\triangle BHC\sim\triangle COA$，
∴$\frac{CH}{AO}=\frac{BH}{CO}=\frac{CB}{CA}=\frac{1}{2}$，
∴$CH = 4$，$BH = 3$，
∴点$B$的坐标是$(-10,3)$，
将$B(-10,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = - 10\times3 = - 30$，
∴反比例函数的解析式为$y = -\frac{30}{x}$。