《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

23. 如图,在$\triangle ABP$中,$C,D$分别是$AP,BP$上的点.若$CD = CP = 4,DP = 5,AC = 3.5,BD = 1$.
(1)求证:$\triangle ABP\sim\triangle DCP$；
(2)求$AB$的长.
　

答案： 解：
(1)证明：
∵$CD = CP = 4$，$DP = 5$，$AC = 3.5$，$BD = 1$，
∴$AP = AC + CP = 3.5 + 4 = 7.5$，
$BP = BD + DP = 1 + 5 = 6$，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{7.5}{5}=\frac{3}{2}$，$\frac{BP}{CP}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CP}$。
又
∵$\angle DPC=\angle APB$，
∴$\triangle ABP\sim\triangle DCP$。
(2)
∵$\triangle ABP\sim\triangle DCP$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{CP}$，即$\frac{AB}{4}=\frac{6}{4}$，
∴$AB = 6$。

24. 如图,已知$A(-4,2),B(n,-4)$是一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线$AB$与$x$轴的交点$C$的坐标及$\triangle AOB$的面积；
(3)请直接写出不等式$kx + b-\frac{m}{x}＞0$的解集.
　　　　

答案： 解：
(1)将$A(-4,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m = - 8$。
∴反比例函数的解析式为$y = -\frac{8}{x}$。
将点$B(n,-4)$代入$y = -\frac{8}{x}$，得$n = 2$。
∴点$B$的坐标为$(2,-4)$。
将$A(-4,2)$，$B(2,-4)$代入$y = kx + b$，得
$\begin{cases}-4k + b = 2\\2k + b = - 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1\\b = - 2\end{cases}$。
∴一次函数的解析式为$y = - x - 2$。
(2)
∵$C$是直线$AB$与$x$轴的交点，
∴当$y = 0$时，$-x - 2 = 0$，解得$x = - 2$。
∴点$C$的坐标为$(-2,0)$，
∴$OC = 2$。
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ACO}+S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}\times2\times(2 + 4)=6$。
(3)$0\lt x\lt 2$或$x\lt - 4$。