《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

25. 如图,已知一次函数$y_1 = kx + b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$图象交于点$A(4,1)$和点$B(a,-2)$.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当$y_1＞y_2$时,直接写出自变量$x$的取值范围；
(3)若在$x$轴上存在一点$C$使$\triangle ABC$的面积为8,求点$C$的坐标.
　

答案：
解：
(1)将$A(4,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$m = 4$，
∴反比例函数的关系式为$y_2=\frac{4}{x}$，
令$y = - 2$得，$a=\frac{4}{-2}=-2$，
∴点$B(-2,-2)$。
将$A(4,1)$，$B(-2,-2)$代入$y_1 = kx + b$得，
$\begin{cases}4k + b = 1\\-2k + b = - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b = - 1\end{cases}$，
∴一次函数的关系式为$y_1=\frac{1}{2}x - 1$。
(2)$x\gt 4$或$-2\lt x\lt 0$。
(3)如图，设一次函数$y_1=\frac{1}{2}x - 1$与$x$轴的交点为$D$，则$D(2,0)$。

设点$C(c,0)$，则$CD = |2 - c|$。
∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BCD}=8$，
∴$\frac{1}{2}\times1\times|2 - c|+\frac{1}{2}\times2\times|2 - c| = 8$，
解得$c = -\frac{10}{3}$或$\frac{22}{3}$，
∴点$C$的坐标为$(-\frac{10}{3},0)$或$(\frac{22}{3},0)$。