《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$\tan\angle ACB = \sqrt{3}$，$D$为$\triangle ABC$外一点，与点$B$在$AC$同侧，若$DA = DC = \sqrt{6}$，则$\angle DAB$的度数为________.

答案： 15°　[解析]
∵tan∠ACB=$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=60°.
∵∠B=90°，AB=3，
∴∠BAC=30°，AC=$\frac{AB}{\sin\angle ACB}$=2$\sqrt{3}$
∵DA=DC=$\sqrt{6}$，
∴DA²+DC²=12=AC²，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°.又DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠DAB=∠DAC−∠BAC=15°.故答案为：15°.

9. 在$\triangle ABC$中，$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$，则$\tan A\cdot\tan B = $________.

答案： 1　[解析]
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴tanA·tanB=tan30°·tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1.故答案为：1.

10. 如图，正方形$ABCD$的边长为$3$，点$E$是$AB$上的一点，将$\triangle BCE$沿$CE$折叠至$\triangle FCE$，若$CF$，$CE$恰好与以正方形$ABCD$的中心为圆心的$\odot O$相切，则折痕$CE$的长为________.

答案： 2$\sqrt{3}$　[解析]如图，连接AC.由折叠知，∠ECB=∠ECF.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=45°.
∵CF，CE与⊙O相切，
∴AC平分∠ECF，
∴∠ECF=2∠ECA，
∴∠ECB=2∠ECA.
∵∠ECB+∠ECA=45°，
∴∠ECB=30°，
∴cos∠ECB=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CE=2$\sqrt{3}$故答案为：2$\sqrt{3}$

三、解答题
11. 计算.
（1）$\sin30^{\circ}+\cos45^{\circ}$； （2）$\cos30^{\circ}\cdot\tan30^{\circ}-\tan45^{\circ}$；
（3）$\tan30^{\circ}\cdot\tan60^{\circ}+\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}45^{\circ}$； （4）$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin45^{\circ}+\sin60^{\circ}\cdot\cos45^{\circ}$.

答案：
(1)$\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$.　
(2)$-\frac{1}{2}$.　
(3)2.　
(4)$\frac{2+\sqrt{6}}{4}$.

四、中考链接
12. (天津中考)$\tan45^{\circ}$的值等于 （ ）
A. $2$
B. $1$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： B

13. (广东中考)$\sin30^{\circ}=$________.

答案： $\frac{1}{2}$

14. (岳阳中考)计算：$\vert - 3\vert - 2\tan45^{\circ}+(-1)^{2022}-(\sqrt{3}-\pi)^{0}$.

答案： 解：原式=3−2×1+1−1=1.