《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

17.(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$位于第一象限的图象上，$OA = 2$，OA与y轴的夹角为30°，将OA绕点O顺时针旋转30°到OB，点B恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，连接AB并延长，交y轴于点P，交x轴于点Q.
(1)求k的值；
(2)求B点的坐标；
(3)求$\triangle AOB$的面积.

答案：
解：
(1)如图，作$AD\perp x$轴于$D$，$BE\perp x$轴于$E$，则$\angle ADO=\angle BEO = 90^{\circ}$.

由题知，$\angle POA = 30^{\circ}$，
∴$\angle OAD = 30^{\circ}$.
又$OA = 2$，
∴$OD = 1$，
∴$AD = \sqrt{3}$.
∴$A(1,\sqrt{3})$，
∴$k = 1\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
(2)由旋转知，$OB = 2$，$\angle AOB = 30^{\circ}$，
∴$\angle BOE = 30^{\circ}$，
∴$BE = 1$，$OE = \sqrt{3}$，
∴$B(\sqrt{3},1)$.
(3)由题知，$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOD}+S_{梯形ABED}-S_{\triangle BOE}=S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=1$.

18.(12分)一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示，其中$60\leq v\leq120$.
(1)直接写出v与t之间的函数关系式；
(2)当客车的平均速度v为80千米/小时时，求所用时间t；
(3)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇，求两车的平均速度.

答案： 解：
(1)$v = \frac{600}{t}(5\leq t\leq10)$.
(2)当$v = 80$时，$\frac{600}{t}=80$，解得$t = 7.5$，
答：所用时间$t$为$7.5$小时.
(3)依题意，得$3(v + v - 20)=600$，
解得$v = 110$，
$v - 20 = 90$.
答：客车和货车的平均速度分别为$110$千米/小时和$90$千米/小时.