《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

8. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D，E分别为AB，AC上的点，若AD·AB = AC·AE，则∠ADE的度数是________.

答案： $90^{\circ}$ 【解析】
∵AD·AB = AC·AE，
∴AD:AC = AE:AB.
又∠A = ∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE = ∠C = 90°.
故答案为：$90^{\circ}$.

9. （数学文化）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法. 如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB = 1米，AC = 1.6米，AE = 0.4米，那么CD为________米.

答案： 3 【解析】由题意知，AB//CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$，
即$\frac{1}{CD}=\frac{0.4}{1.6 - 0.4}$，解得CD = 3(m).
故答案为：3.

10. 如图，在△ABC中，AB = 8，BC = 16，点P是AB边的中点，点Q是BC边上的一个动点，当BQ = ________时，△BPQ与△BAC相似.

答案： 2或8

11. 如图，已知∠B = ∠E = 90°，AB = 6，BF = 3，CF = 5，DE = 15，DF = 25.
求证：△ABC∽△DEF.

答案： 证明：
∵BF = 3，CF = 5，
∴BC = BF + CF = 8.
∵DE = 15，DF = 25，∠E = 90°，
∴EF = $\sqrt{DF^{2}-DE^{2}}$ = 20，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$.
又∠B = ∠E = 90°，
∴△ABC∽△DEF.

12. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD·DE = BE·CD.
求证：△BCD∽△BDE.

答案： 证明：
∵BD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BDC = ∠BED = 90°.
∵BD·DE = BE·CD，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{DE}$，
∴△BCD∽△BDE.