《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，$\triangle ABC$的顶点都在格点上.
(1)以原点$O$为位似中心，在第三象限内画出将$\triangle ABC$放大为原来的2倍后的位似图形$\triangle A_1B_1C_1$；
(2)$\triangle A_1B_1C_1$的面积是________.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图所示，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
(2)$14$

22. 如图所示，点$E$是正方形$ABCD$的边$AB$上的动点，$EF\perp DE$交$BC$于点$F$.
(1)求证：$\triangle ADE\sim\triangle BEF$；
(2)设正方形的边长为$4$，$AE = x$，$BF = y$. 当$x$取何值时，$y$有最大值？并求出这个最大值.
　

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore\angle DAE=\angle EBF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ADE+\angle DEA = 90^{\circ}$. 又$\because EF\perp DE$，$\therefore\angle DEA+\angle FEB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ADE=\angle FEB$，$\therefore\triangle ADE\sim\triangle BEF$.
(2)解：由题知，$AD = 4$，$AE = x$，$BF = y$，$BE = 4 - x$. $\because\triangle ADE\sim\triangle BEF$，$\therefore\frac{BF}{AE}=\frac{BE}{AD}$，即$\frac{y}{x}=\frac{4 - x}{4}$，$\therefore y=\frac{1}{4}(-x^{2}+4x)=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+1$，$\therefore$当$x = 2$时，$y$有最大值，最大值为$1$.