《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

7. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$AC = 7$，则$\sin B=$_______.
　　

答案： 7. $\frac{7}{13}$

8. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为$\alpha$，$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，堤坝高$BC = 30$ m，则迎水坡面$AB$的长度为_______ m.

答案： 8. 50

9. 如图，点$A$，$B$，$C$都在边长为1的正方形网格的格点上，则$\cos B+\sin B=$_______.

答案：
9. $\frac{7}{5}$ 【解析】如图，过点$A$作$AE\perp BC$交$BC$的延长线于$E$.

在$Rt\triangle ABE$中，$\angle E = 90^{\circ}$，$AE = 3$，$BE = 4$，
$\therefore AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
$\therefore\cos B=\frac{BE}{AB}=\frac{4}{5}$，$\sin B=\frac{AE}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\therefore\cos B+\sin B=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$.
故答案为：$\frac{7}{5}$.

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin C=\frac{3}{5}$，$AC = 5$，则$\triangle ABC$的面积是_______.
　　

答案： 10. $\frac{21}{2}$ 【解析】过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，
$\because\sin C=\frac{3}{5}$，$AC = 5$，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，$\therefore AD = 3$，$\therefore CD = 4$.
又$\because\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\angle B = 45^{\circ}$，$\therefore BD = AD = 3$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}\times3\times(3 + 4)=\frac{21}{2}$.
故答案为：$\frac{21}{2}$.

11. 北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念. 如图所示，它的主体形状呈正六边形. 若点$A$，$F$，$B$，$D$，$C$，$E$是正六边形的六个顶点，则$\tan\angle ABE=$_______.

答案：
11. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 【解析】如图，连接$AB$，$BC$，$AC$，$BE$.
$\because$点$A$，$F$，$B$，$D$，$C$，$E$是正六边形的六个顶点，
$\therefore AB = BC = AC$，$BE$垂直平分$AC$，
$\therefore\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore\angle ABC = 60^{\circ}$.
$\because BE\perp AC$，$\therefore\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$，
$\therefore\tan\angle ABE=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

12. 如图，身高1.6 m的小亮用一个锐角为$30^{\circ}$的直角三角尺测量树高，当他手托三角尺从点$E$后退10 m，到达点$B$时，他的视线刚好沿三角尺的斜边穿过树顶点$C$，这棵树高大约是_______ m.（眼睛到头顶的距离忽略不计，结果精确到0.01 m. 参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$）

答案： 12. 7.37

13.（6分）先化简，再求值：$(x - \frac{2x - 1}{x})\div\frac{x - 1}{x}$，其中$x = \cos30^{\circ}$.

答案： 13. 解：原式$=\frac{x^{2}-2x + 1}{x}\cdot\frac{x}{x - 1}$
$=\frac{(x - 1)^{2}}{x}\cdot\frac{x}{x - 1}$
$=x - 1$.
$\because x=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore$原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$.

14.（8分）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$AB = 3$.
（1）求$BC$的长；
（2）求$\sin A$的值.

答案： 14. 解：
(1)$\because\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$AB = 3$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$.
(2)$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

15.（8分）如图是某水库大坝的横截面，坝高$CD = 20$ m，背水坡$BC$的坡度为$i_1 = 1:1$. 为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为$i_2 = 1:\sqrt{3}$，求背水坡新起点$A$与原起点$B$之间的距离.（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$. 结果精确到0.1 m）
　　

答案： 15. 解：$\because$背水坡$BC$的坡度为$i_{1}=1:1$，
$\therefore\frac{CD}{BD}=1$，$\therefore CD = BD = 20$米，
$\because$背水坡$AC$的坡度为$i_{2}=1:\sqrt{3}$，
$\therefore\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\therefore AD=\sqrt{3}CD = 20\sqrt{3}$(米)，
$\therefore AB = AD - BD = 20\sqrt{3}-20\approx14.6$(米).
答：背水坡新起点$A$与原起点$B$之间的距离约为$14.6$米.

16. 真实情境（8分）Smart Measure Pro是一款非常实用的手机测距软件，使用方法简单，如图1，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按下快门，再对准头部按下快门，即可测出人的身高. 其数学原理如图2所示，测量者$AB$与被测量者$CD$都垂直于地面$BC$. 若手机显示$AC = 2$ m，$AD = 3$ m，$\angle CAD = 60^{\circ}$，求此时$CD$的高.（结果保留根号）
　　

答案：
16. 解：如图，过点$D$作$DE\perp AC$于$E$，

则$DE = AD\cdot\sin\angle DAC = 3\times\sin60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$AE = AD\cdot\cos\angle DAC = 3\times\cos60^{\circ}=\frac{3}{2}$，
$\therefore EC = AC - AE = 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore DC=\sqrt{DE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{7}$.
答：$CD$的高为$\sqrt{7}$米.

17. 真实情境（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业. 图1是太阳能电板的实物图，其截面示意图如图2，$AB$为太阳能电板，其一端$A$固定在水平面上且夹角$\angle DAB = 22^{\circ}$，另一端$B$与支撑钢架相连，钢架$BE$，$CD$与水平面垂直，$CF\perp BE$于$F$，$\angle BCD = 135^{\circ}$. 若$AD = 3$ m，$CD = 0.5$ m，求$AB$的长.（参考数据：$\sin22^{\circ}\approx0.37$，$\cos22^{\circ}\approx0.93$，$\tan22^{\circ}\approx0.40$，结果精确到0.01 m.）

答案： 17. 解：由题知，$\angle BCF=\angle BCD-\angle FCD = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle FBC=\angle FCB = 45^{\circ}$，$\therefore FB = FC$.
设$FB = FC = x\ m$，则$DE = x\ m$，
$AE=(3 - x)\ m$，$BE=(x + 0.5)\ m$，
由$\tan\angle BAE=\frac{BE}{AE}=\frac{x + 0.5}{3 - x}=0.40$，
解得$x = 0.5$，
$\therefore BE = 1\ m$，
$\therefore AB=\frac{BE}{\sin\angle BAE}=\frac{1}{\sin22^{\circ}}\approx2.70$(m).
答：$AB$的长约为$2.70\ m$.

18. 阅读理解（12分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算$\tan15^{\circ}$时，可构造如图所示的图形. 在$Rt\triangle ACB$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$AC = x(x\gt0)$，延长$CB$至点$D$，使得$BD = AB$，连接$AD$，易知$\angle D = 15^{\circ}$，$CD = BD + BC = AB + BC = 2x+\sqrt{3}x$，所以$\tan15^{\circ}=\tan D=\cdots$
任务：
（1）请根据上面的步骤，完成$\tan15^{\circ}$的计算；
（2）类比这种方法，画出图形，并计算$\tan22.5^{\circ}$的值.
　

答案：
18. 解：
(1)由题意得，$AC = x$，$CD = 2x+\sqrt{3}x$，
$\therefore\tan15^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{2x+\sqrt{3}x}=2-\sqrt{3}$，
即$\tan15^{\circ}$的值是$2-\sqrt{3}$.
(2)如图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，延长$CB$到点$D$，使得$BD = AB$，连接$AD$，易知$\angle D = 22.5^{\circ}$，
设$AC = BC = x$，则$AB = BD=\sqrt{2}x$，
$\therefore CD = BC + BD = x+\sqrt{2}x$，
$\therefore\tan22.5^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{x+\sqrt{2}x}=\sqrt{2}-1$，
即$\tan22.5^{\circ}$的值是$\sqrt{2}-1$.