《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

18.(真实情境)(8分)“生态兴则文明兴”,保护生态环境的宣传标语随处可见.如图,小云想要测量窗外的保护生态环境的宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好自A处从窗户的最高点C处射进房间的地板F处,中午阳光恰好自A处从窗户的最低点D处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD=1m,窗高CD=1.5m,并测得OE=1m,OF=3m.请根据以上测量数据，求保护生态环境的宣传牌AB的高度.

答案： 解：
∵DO⊥BF，
∴∠DOE = 90°.
∵OD = 1 m，OE = 1 m，
∴∠DEB = 45°.
∵AB⊥BF，
∴∠BAE = 45°，
∴AB = BE.
设AB = BE = x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB//CO，
∴△ABF∽△COF，
∴$\frac{AB}{CO}=\frac{BF}{OF}$，
即$\frac{x}{1.5 + 1}=\frac{x+(3 - 1)}{3}$，解得x = 10.
答：宣传牌AB的高度是10 m.

19.(12分)如图,在△ABC中,BA=BC=12cm,AC=16cm,点P从A点出发,沿AB以每秒3cm的速度向B点运动,同时点Q从C点出发，沿CA以每秒4cm的速度向A点运动，设运动的时间为x秒.
(1)当x为何值时，△APQ与△CQB相似？
(2)当$\frac{S_{\triangle BCQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}$时,请直接写出$\frac{S_{\triangle BPQ}}{S_{\triangle ABC}}$的值.

答案： 解：（1）由题得，AP = 3x，QC = 4x，AQ = 16 - 4x.
∵BA = BC，
∴∠A = ∠C.
①当△APQ∽△CQB时，$\frac{CQ}{AP}=\frac{BC}{AQ}$，
即$\frac{4x}{3x}=\frac{12}{16 - 4x}$，解得$x=\frac{7}{4}$；
②当△APQ∽△CBQ时，$\frac{CQ}{AQ}=\frac{BC}{AP}$，
即$\frac{4x}{16 - 4x}=\frac{12}{3x}$，解得$x=-2 + 2\sqrt{5}$（负值舍去），
综上所述，当x为$\frac{7}{4}$或$-2 + 2\sqrt{5}$时，△APQ与△CQB相似.
（2）由题知，$\frac{S_{\triangle BCQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}$时，
$S_{\triangle AQB}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}$，QC = 4 cm，
∴$x=\frac{QC}{4}=1$秒，
∴AP = 3 cm，BP = 9 cm，
∴$S_{\triangle BPQ}=\frac{3}{4}S_{\triangle AQB}=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{9}{16}S_{\triangle ABC}$，
∴$\frac{S_{\triangle BPQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{9}{16}$，
即$\frac{S_{\triangle BPQ}}{S_{\triangle ABC}}$的值为$\frac{9}{16}$.