《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

11. 我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向，N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图)，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？(参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73)

答案： 解：过点 P 作 PD⊥MN 于 D，
由题可知，∠PMD = 45°，∠PND = 30°，
∴MD = PD，ND = $\frac{PD}{\tan30^{\circ}}$ = $\sqrt{3}$PD.
∵MD + ND = MN = 2，即 PD + $\sqrt{3}$PD = 2，
∴PD = $\sqrt{3}$ - 1≈0.73＞0.6，
∴修筑公路时，这个小区居民不需搬迁.

12. 真实情境 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度；(结果保留根号)
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由.(结果精确到0.1米. 参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45)

答案： 解：
(1)由题知，∠ABM = 45°，∠ACM = 30°，AB = 4 米，
∴AM = AB·sin45° = 2$\sqrt{2}$(米).
∴AC = 2AM = 4$\sqrt{2}$(米).
答：新传送带 AC 的长度为 4$\sqrt{2}$米.
(2)货物 DEFG 不需要挪走. 理由如下：
在 Rt△ABM 中，BM = AM = 2$\sqrt{2}$米.
在 Rt△ACM 中，CM = $\frac{AM}{\tan30^{\circ}}$ = 2$\sqrt{6}$米.
∴CB = CM - BM = 2$\sqrt{6}$ - 2$\sqrt{2}$≈2.1(米)，
∴DC = DB - CB≈5 - 2.1 = 2.9(米)＞2(米)，
∴货物 DEFG 不需要挪走.