《2025年名校调研跟踪测试卷九年级数学下册人教版》

26. 如图,$AB// CD$,且$AB = 2CD$,$E$是$AB$的中点,$F$是边$BC$上的动点,$EF$与$BD$相交于点$M$.
(1)求证:$\triangle EDM\sim\triangle FBM$；
(2)若$F$是$BC$的中点,$BD = 12$,求$BM$的长；
(3)若$AD = BC$,$BD$平分$\angle ABC$,点$P$是线段$BD$上的动点,是否存在点$P$,使$DP\cdot BP = BF\cdot CD$.若存在,求出$\angle CPF$的度数；若不存在,请说明理由.
　　

答案：

(1)证明：
∵$AB = 2CD$，点$E$是$AB$的中点，
∴$DC = EB$。
又
∵$AB// CD$，
∴四边形$BCDE$为平行四边形，
∴$ED// BC$，
∴$\angle EDB=\angle FBM$。
又$\angle DME=\angle BMF$，
∴$\triangle EDM\sim\triangle FBM$。
(2)解：
∵$\triangle EDM\sim\triangle FBM$，
∴$\frac{DM}{BM}=\frac{DE}{BF}$。
∵$F$是$BC$的中点，
∴$DE = BC = 2BF$，
∴$DM = 2BM$，
∴$DB = DM + BM = 3BM$，
∴$BM=\frac{1}{3}DB=\frac{1}{3}\times12 = 4$。
(3)解：存在. 如图所示。
∵$DC// AB$，
∴$\angle CDB=\angle ABD$。
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle CBD=\angle ABD$，
∴$\angle CDB=\angle CBD$，
∴$DC = BC$。
∵$DP\cdot BP = BF\cdot CD$，
∴$\frac{PD}{BF}=\frac{CD}{BP}$，
∴$\triangle PDC\sim\triangle FBP$，
∴$\angle BPF=\angle PCD$。
∵$\angle DPC+\angle CPF+\angle BPF = 180^{\circ}$，
$\angle DPC+\angle PDC+\angle PCD = 180^{\circ}$，
∴$\angle PDC=\angle CPF$。
∵$AD = BC = DE = DC = BE = AE$，
∴$\triangle ADE$是等边三角形，
∴$\angle AED = 60^{\circ}$。
∵$DE// BC$，
∴$\angle ABC = 60^{\circ}$，
∴$\angle DBC = 30^{\circ}$，
∴$\angle PDC = 30^{\circ}$，
∴$\angle CPF = 30^{\circ}$。