《2025年学霸提优大试卷六年级数学下册北师大版》

5. 有一个圆锥形容器装满了2000 mL香油，小老鼠偷偷在容器的正中间咬了一个洞偷油，一直偷到油面与洞口平齐为止(如图)，此时油面直径是容器底面直径的$\frac{1}{2}$，小老鼠共偷了多少毫升香油？(9分)
(1)油面的半径与容器底面半径的比是( )；油面的高度与容器高度的比是( )；剩余香油的体积与容器容积的比是( )。(3分)
(2)根据原来香油的体积，列式求出小老鼠共偷了多少毫升香油。(6分)

答案：
(1)$1:2$ $1:2$ $1:8$
(2)$2000×(1 - \frac{1}{8}) = 1750(mL)$
答：小老鼠共偷了$1750 mL$香油。

1. 将一个圆柱形木块沿底面直径切成相等的四部分(如图①)，表面积增加48 cm²；若将圆柱形木块沿与底面平行切成三个小圆柱(如图②)，则表面积增加50.24 cm²。现在把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥(如图③)，体积减少多少？(5分)

答案： $50.24\div4 = 12.56(cm^{2})$
$12.56\div3.14 = 4(cm^{2})$
因为$2^{2}=4$，所以圆柱底面半径是$2 cm$。
$48\div8 = 6(cm^{2})$ $6\div2 = 3(cm)$
$3.14×2^{2}×3×\frac{2}{3}=25.12(cm^{3})$
答：体积减少$25.12 cm^{3}$。
提示：如题图②所示切割成$3$个小圆柱，表面积增加$4$个底面圆的面积，所以圆柱的底面积是$50.24\div4 = 12.56(cm^{2})$，根据圆面积公式可得$r^{2}=12.56\div3.14 = 4(cm^{2})$，根据$2^{2}=4$推算出圆柱底面半径是$2 cm$；如题图①所示沿底面直径切割后，表面积增加$8$个分别以圆柱底面半径和高为边的长方形的面积，所以长方形的面积是$48\div8 = 6(cm^{2})$，圆柱高是$6\div2 = 3(cm)$，所以圆柱的体积是$3.14×2^{2}×3 = 37.68(cm^{3})$，把圆柱削成一个最大的圆锥，减少的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，即$37.68×\frac{2}{3}=25.12(cm^{3})$。

2. 强基直通车 比例法解应用题 把加工一批零件的任务，原计划按1：3分配给甲、乙两人，如果他们同时开工就可以同时完成任务。实际由于某种原因，二人同时一开工，乙的工作效率就比原计划降低了50%，甲的工作效率不变。这样，当甲完成了自己的任务后立即帮助乙一起加工，又经过2时完成了全部任务，如果这批零件全部由甲单独加工，需要( )时完成。(5分)

答案： $\frac{40}{3}$
提示：按$1:3$分配给甲、乙两人，他们同时开工就可以同时完成任务，工作总量之比是$1:3$，那么工作效率之比是$1:3$；当乙的工作效率比原计划降低了$50\%$后，甲、乙的工作效率之比是$2:3$，甲完成自己的任务的时间是不变的，当甲完成自己的任务时，乙完成了一半还剩下一半，剩下的一半甲、乙合作需要$2$时，可以求出甲、乙的工作效率，然后求出工作总量及甲单独加工需要的时间。甲的工作量记作$1$份，乙的工作量记作$3$份。正常情况下甲、乙的工作效率之比是$1:3$，$3 - 3×50\% = 1.5$，实际情况下甲、乙的工作效率之比是$1:1.5 = 2:3$，当甲完成自己的任务时，乙完成了$1.5$份，还剩下$1.5$份。甲、乙合作需要$2$时可以完成$1.5$份，且甲、乙的工作效率之比是$2:3$，那么甲$2$时完成$1.5×\frac{2}{2 + 3}=0.6$（份），甲$1$时完成$0.6\div2 = 0.3$（份）。总的工作量是$4$份，$4\div0.3=\frac{40}{3}$（时），所以甲单独加工，需要$\frac{40}{3}$时完成。