《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

5. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是______km。

答案： $\sqrt{3}$

6.（邢台信都区期中）如图，某海岸边有B，C两个码头，C码头位于B码头的正东方向，距离B码头60海里。甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距离B码头45海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离。（结果保留根号）

答案：
解:如图，分别延长$BC$，$ED$交于点$F$,
　　　　　　　　　　　　　　　
由题意,得$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle BED = 60^{\circ}$,
$\therefore\angle ADE=\angle BED - \angle A = 30^{\circ}$,
$\angle F = 90^{\circ}-\angle BED = 30^{\circ}$.
$\because\angle CDF=\angle ADE = 30^{\circ}$,
$\therefore\angle CDF=\angle F$,$\therefore CD = CF$.
在$Rt\triangle BEF$中,$\angle BED = 60^{\circ}$,$BE = 45$海里,
$\therefore BF = BE\cdot\tan60^{\circ}=45\sqrt{3}$(海里),
$\therefore CF = BF - BC=(45\sqrt{3}-60)$(海里),
$\therefore CD=(45\sqrt{3}-60)$海里.
答:此时乙船与$C$码头之间的距离为$(45\sqrt{3}-60)$海里.

7. 如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30$\sqrt{2}$ km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）

A.（30 + 30$\sqrt{3}$）km
B.（30 + 10$\sqrt{3}$）km
C.（10 + 30$\sqrt{3}$）km
D. 30$\sqrt{3}$ km

答案： B

8. 有一处斜坡如图所示，分为MO = NO = 8 m的两段，MO段的坡度为1 : 1，NO段的坡度为1 : $\sqrt{3}$，则∠MON = ______°。若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过15 cm，则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为______级。（参考数据：$\sqrt{2}$ ≈ 1.41，$\sqrt{3}$ ≈ 1.73）

答案： 165 65

9.（张家口宣化区期中）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°。沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i = 1 : $\sqrt{3}$，AB = 10 m，AE = 15 m。（i = 1 : $\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH。
（2）求广告牌CD的高度。（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1 m。参考数据：$\sqrt{2}$ ≈ 1.414，$\sqrt{3}$ ≈ 1.732）

答案：
解:
(1)在$Rt\triangle ABH$中,$i = \tan\angle BAH=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\therefore\angle BAH = 30^{\circ}$,$\therefore BH=\frac{1}{2}AB = 5$.
答:点$B$距水平面$AE$的高度$BH$为$5m$.
(2)如图，过点$B$作$BG\perp DE$于点$G$,
　　　　　　　　　　　　　　　
$\because BH\perp HE$,$GE\perp HE$,$BG\perp DE$,
$\therefore$四边形$BHEG$是矩形.
由
(1)得$BH = 5$,$AH=\sqrt{3}BH = 5\sqrt{3}$,
$\therefore BG = AH + AE = 5\sqrt{3}+15$.
在$Rt\triangle BGC$中,$\angle CBG = 45^{\circ}$,
$\therefore CG = BG = 5\sqrt{3}+15$.
在$Rt\triangle ADE$中,$\angle DAE = 60^{\circ}$,$AE = 15$,
$\therefore DE = AE\cdot\tan60^{\circ}=\sqrt{3}AE = 15\sqrt{3}$.
$\therefore CD = CG + GE - DE = 5\sqrt{3}+15 + 5-15\sqrt{3}=20 - 10\sqrt{3}\approx2.7$.
答:广告牌$CD$高约$2.7m$.