《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

5. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于________。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6. 在△ABC中，∠C = 90°，tan A = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos B =________.

答案： $\frac{1}{2}$

7. 已知tan β = sin 39°19′ + cos 80°10′，用计算器计算锐角β≈________.（结果精确到1′）

答案： $38^{\circ}49'$

8. 计算：
(1)tan 30°·tan 60° + cos²30° - sin²45°·tan 45°。
(2)2cos 30° + tan 45° - tan 60° + ($\sqrt{2} - 1$)⁰。

答案： 解：
(1)原式$=\frac{\sqrt{3}}{3}\times\sqrt{3}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\times1=1+\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$.
(2)原式$=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\sqrt{3}+1=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$.

9.（新运算题）我们发现：一般地，当α为锐角时，有cos(180° + α) = - cos α，比如cos 210° = cos(180° + 30°) = - cos 30° = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$。由此可知cos 240°的值是（ ）
A. - $\frac{1}{2}$
B. - $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. - $\sqrt{3}$

答案： A

10. 在△ABC中，∠C = 90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c² + 4b² - 4bc = 0，则sin A + cos A的值为________。

答案： $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

11. 如何求tan 75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC = k，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，延长CB，在射线BM上截取线段BD，使BD = AB，连接AD，依据此图可求得tan 75°的值为________。

答案： $\sqrt{3}+2$

12.（拓展探索题）先完成填空，再按要求答题：
(1)计算：（只要求填写最后结果）
sin²30° + cos²30° =________;
sin²45° + cos²45° =________;
sin²60° + cos²60° =________
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A + cos²A =________.
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，根据三角函数定义尝试证明你的猜想。
(3)已知0° ＜ ∠A ＜ 90°且sin A·cos A = $\frac{12}{25}$，求sin A + cos A的值。

答案： 解：
(1)$\sin^{2}30^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=1$；
$\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}45^{\circ}=1$；
$\sin^{2}60^{\circ}+\cos^{2}60^{\circ}=1$.
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角$A$，都有$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$.
故答案为1，1，1，1.
(2)由勾股定理，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$\sin^{2}A+\cos^{2}A=\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}=1$.
(3)$\because\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$，$\sin A\cdot\cos A=\frac{12}{25}$，
$\therefore(\sin A+\cos A)^{2}-2\sin A\cdot\cos A = 1$，
$\therefore(\sin A+\cos A)^{2}=2\sin A\cdot\cos A + 1=\frac{49}{25}$.
$\because\sin A+\cos A＞0$，
$\therefore\sin A+\cos A=\frac{7}{5}$.